Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR.
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e pede duas coisas: (1) encontrar uma base ortonormal para o espaço coluna de A; (2) escrever A na forma de fatoração QR.
As informações relevantes são as colunas de A, que vou chamar de \,a_1 e \,a_2:
a_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve aula (útil para a prova): o processo de Gram–Schmidt transforma um conjunto de vetores linearmente independentes \{a_1,\dots,a_n\} numa base ortonormal \{q_1,\dots,q_n\} do espaço gerado por eles. As fórmulas essenciais (para dois vetores) são:
u_1=a_1,\qquad q_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},
u_2=a_2-(q_1^{T}a_2)\,q_1,\qquad q_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}.
Aqui q_1^{T}a_2 é o produto interno entre q_1 e a_2 (escalar), e \|v\| é a norma euclidiana de v, definida por \|v\|=\sqrt{v^{T}v}. A projeção de a_2 sobre q_1 é (q_1^{T}a_2)q_1.

Passo 3

Aplicando a primeira etapa: u_1=a_1. Calcular a norma de u_1:
\|u_1\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.
Normalizando:
q_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora projetar a_2 sobre q_1. Primeiro o escalar q_1^{T}a_2:
q_1^{T}a_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1\cdot 2 + 0\cdot 1 + 1\cdot 4\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 6=\frac{6}{\sqrt{2}}.
A projeção é
(q_1^{T}a_2)\,q_1=\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{6}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =3\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Subtrair a projeção para obter u_2:
u_2=a_2-(q_1^{T}a_2)\,q_1 =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calcular a norma de u_2:
\|u_2\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Normalizando:
q_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (importante na prova): confirmar ortonormalidade
q_1^{T}q_1=1,\qquad q_2^{T}q_2=1,
q_1^{T}q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot1\bigr) =\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot 0=0.
Portanto \{q_1,q_2\} é realmente uma base ortonormal do espaço coluna de A.

Passo 7

Agora construir a fatoração A=QR. Para matrizes com colunas a_1,a_2 e vetores ortonormais q_1,q_2 obtidos, os coeficientes de R são
r_{11}=\|u_1\|=\sqrt{2},\qquad r_{12}=q_1^{T}a_2=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2},
r_{21}=0,\qquad r_{22}=\|u_2\|=\sqrt{3}.
Assim
Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt] 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 3\sqrt{2}\\[4pt]0 & \sqrt{3}\end{pmatrix}.
Checagem (rápida para a prova): a primeira coluna de A é r_{11}q_1=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^{T}=(1,0,1)^{T}. A segunda coluna é r_{12}q_1 + r_{22}q_2 = (3,0,3)^{T}+(-1,1,1)^{T}=(2,1,4)^{T}, igual a a_2. Logo A=QR.]

Resposta

Base ortonormal: \displaystyle q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad q_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}
Fatoração QR: \displaystyle A=Q R com
Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt] 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 3\sqrt{2}\\[4pt]0 & \sqrt{3}\end{pmatrix}.

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