Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR. A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right)
e pede duas coisas: (1) encontrar uma base ortonormal para o espaço coluna de A; (2) escrever A na forma de fatoração QR.
As informações relevantes são as colunas de A, que vou chamar de \,a_1 e \,a_2:
Breve aula (útil para a prova): o processo de Gram–Schmidt transforma um conjunto de vetores linearmente independentes \{a_1,\dots,a_n\} numa base ortonormal \{q_1,\dots,q_n\} do espaço gerado por eles. As fórmulas essenciais (para dois vetores) são:
Aqui q_1^{T}a_2 é o produto interno entre q_1 e a_2 (escalar), e \|v\| é a norma euclidiana de v, definida por \|v\|=\sqrt{v^{T}v}. A projeção de a_2 sobre q_1 é (q_1^{T}a_2)q_1.
Passo 3
Aplicando a primeira etapa: u_1=a_1. Calcular a norma de u_1:
Checagem (rápida para a prova): a primeira coluna de A é r_{11}q_1=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^{T}=(1,0,1)^{T}. A segunda coluna é r_{12}q_1 + r_{22}q_2 = (3,0,3)^{T}+(-1,1,1)^{T}=(2,1,4)^{T}, igual a a_2. Logo A=QR.]
Resposta
Base ortonormal: \displaystyle q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad
q_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}