Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR.
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 2 & -1 \\\\ -2 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & -1 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma base ortonormal para o espaço coluna de A aplicando o algoritmo de Gram–Schmidt.
  • Escrever A na forma da fatoração QR, onde Q tem colunas ortonormais que geram o espaço coluna de A e R é triangular superior.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As colunas de A são vetores em \mathbb{R}^3.
  • Deve ser usado Gram–Schmidt para produzir vetores ortogonais e então normalizá‑los para obter vetores ortonormais.]

Passo 2

Vamos denotar as colunas de A por
a_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
O procedimento Gram–Schmidt ortogonaliza coluna a coluna: primeiro transformamos a_1 num vetor unitário u_1; depois subtraímos de a_2 a projeção de a_2 sobre u_1 para obter um vetor ortogonal a u_1, e normalizamos esse vetor para obter u_2.
Breve lembrete de fórmulas (para não perder o fio):
  • Produto interno em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • Norma associada: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Projeção de v sobre vetor unitário u: \operatorname{proj}_u(v)=\langle u,v\rangle u.]

Passo 3

Normalizar a_1.
Calcular a norma de a_1:
\|a_1\|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Logo o primeiro vetor ortonormal é
u_1=\frac{a_1}{\|a_1\|=\;3}=\begin{pmatrix}1/3\\[4pt]2/3\\[4pt]-2/3\end{pmatrix}.
Explicação: estamos apenas dividindo cada componente de a_1 por sua norma para obter um vetor de comprimento 1.]

Passo 4

Calcular a projeção de a_2 sobre u_1.
Primeiro o produto interno \langle u_1,a_2\rangle. Usamos os componentes de u_1 e de a_2:
\langle u_1,a_2\rangle = \frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot(-1) + \frac{-2}{3}\cdot 4 = \frac{1 -2 -8}{3}=\frac{-9}{3}=-3.
Portanto a projeção é
\operatorname{proj}_{u_1}(a_2)=\langle u_1,a_2\rangle\,u_1 = (-3)\,u_1 = (-3)\begin{pmatrix}1/3\\[4pt]2/3\\[4pt]-2/3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Comentário didático: note que o produto interno deu um número escalar -3; multiplicando esse escalar por u_1 obtemos o componente de a_2 na direção de u_1.]

Passo 5

Formar o vetor ortogonal a u_1 vindo de a_2 e normalizá‑lo.
Subtrair a projeção de a_2:
v_2 = a_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_2) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Calcular a norma de v_2:
\|v_2\|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Normalizar v_2 para obter u_2:
u_2=\frac{v_2}{\|v_2\|=\;3}=\begin{pmatrix}2/3\\[4pt]1/3\\[4pt]2/3\end{pmatrix}.
Explicação: assim garantimos que u_2 tem comprimento 1 e, por construção, é ortogonal a u_1.]

Passo 6

Verificar ortonormalidade rapidamente (confirmação).
Produto interno entre u_1 e u_2:
\langle u_1,u_2\rangle = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} + \frac{-2}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2+2-4}{9}=\frac{0}{9}=0.
Normas:
\|u_1\|=1,\qquad \|u_2\|=1
(pois foram obtidos dividindo vetores pelos seus comprimentos). Logo \{u_1,u_2\} é uma base ortonormal do espaço coluna de A.

Passo 7

Montar as matrizes Q e R da fatoração A=QR.
Definição prática para fatoração QR com colunas originais a_1,a_2:
  • Q tem colunas u_1,u_2.
  • R é triangular superior com entradas
r_{11}=\|a_1\|,\qquad r_{12}=\langle u_1,a_2\rangle,\qquad r_{22}=\|v_2\|,
e r_{21}=0.
Usando os valores calculados:
r_{11}=3,\qquad r_{12}=-3,\qquad r_{22}=3.
Então
Q=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\[6pt] \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\[6pt] \dfrac{-2}{3} & \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}, \qquad R=\begin{pmatrix}3 & -3 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Checagem rápida (intuição): a primeira coluna de QR é 3u_1=a_1; a segunda coluna é (-3)u_1+3u_2=a_2. Assim QR=A.]

Resposta

A base ortonormal do espaço coluna de A é
\left\{\begin{pmatrix}1/3\\[4pt]2/3\\[4pt]-2/3\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}2/3\\[4pt]1/3\\[4pt]2/3\end{pmatrix}\right\}
A fatoração QR é
Q=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\[6pt] \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\[6pt] \dfrac{-2}{3} & \dfrac{2}{3}\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}3 & -3 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}

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