Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt, encontre uma base ortonormal para o espaco coluna da matriz. Escreva a matriz na forma de fatoração QR. A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 2 & -1 \\\\ -2 & 4\end{array}\right)
O procedimento Gram–Schmidt ortogonaliza coluna a coluna: primeiro transformamos a_1 num vetor unitário u_1; depois subtraímos de a_2 a projeção de a_2 sobre u_1 para obter um vetor ortogonal a u_1, e normalizamos esse vetor para obter u_2.
Breve lembrete de fórmulas (para não perder o fio):
Produto interno em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Norma associada: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Projeção de v sobre vetor unitário u: \operatorname{proj}_u(v)=\langle u,v\rangle u.]
Comentário didático: note que o produto interno deu um número escalar -3; multiplicando esse escalar por u_1 obtemos o componente de a_2 na direção de u_1.]
Passo 5
Formar o vetor ortogonal a u_1 vindo de a_2 e normalizá‑lo.