Aplicando o conceito de produto escalar entre vetores determine um vetor ortogonal aos vetores u=(1,-1,0) e v=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede um vetor em R^3 ortogonal aos vetores
vec u = (1,-1,0) e vec v = (1,0,1).
Usaremos o conceito de produto escalar: um vetor vec w é ortogonal a vec u se vec wcdotvec u=0, e similarmente para vec v.

Passo 2

Suponha vec w=(x,y,z). As condições de ortogonalidade são
vec wcdotvec u=0 e vec wcdotvec v=0, isto é,
xcdot1 + ycdot(-1) + zcdot0 = 0,
xcdot1 + ycdot0 + zcdot1 = 0
Isso gera o sistema
x - y = 0, x + z = 0

Passo 3

Do sistema obtemos
y = x a partir de x - y = 0,
z = -x a partir de x + z = 0.
Logo a solução geral é
vec w = (x,,x,,-x) ;=; x,(1,1,-1)

Passo 4

Basta escolher x=1 para um exemplo não nulo. Assim
vec w = (1,1,-1)
Verifique-se que
vec wcdotvec u = 1cdot1 + 1cdot(-1) + (-1)cdot0 = 0,
vec wcdotvec v = 1cdot1 + 1cdot0 + (-1)cdot1 = 0

Resposta

Um vetor ortogonal a vec u e vec v é (1,1,-1).

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