Aplicando os conceitos e teoremas das integrais, determine o valor da integral definida:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando usando a identidade do quadrado da diferença:
Aqui
e
. Aplicando:
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 3
Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é soma das integrais e constantes saem da integral). Assim
Passo 4
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de cada termo usando a regra da potência:
Regra: para ,
Regra: para
Aplicando termo a termo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Somando as primitivas (podemos escolher uma primitiva comum):
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
.
Passo 5
Calcule
. Substituindo
:
Calcule cada parte:
Colocando em forma fracionária com denominador comum
:
Somando:
Passo 6
Calcule
. Substituindo
:
Calcule cada parte:
Colocando em denominador
:
Somando:
Passo 7
Agora a integral é
Simplificando a fração dividindo por
: