Aplicando os conceitos e teoremas das integrais, determine o valor da integral definida:
\int_{-1}^{2}\left(8-x^{2}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{-1}^{2}\left(8-x^{2}\right)^{2} \, dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \left(8-x^{2}\right)^{2}.
  • Os limites de integração são x=-1 (inferior) e x=2 (superior).
    O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando a identidade do quadrado da diferença:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui a=8 e b=x^{2}. Aplicando:
\left(8-x^{2}\right)^{2}=8^{2}-2\cdot8\cdot x^{2}+(x^{2})^{2}.
Calculando cada termo:
8^{2}=64,\qquad -2\cdot8\cdot x^{2}=-16x^{2},\qquad (x^{2})^{2}=x^{4}.
Portanto
\left(8-x^{2}\right)^{2}=64-16x^{2}+x^{4}.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é soma das integrais e constantes saem da integral). Assim
\int_{-1}^{2}\left(8-x^{2}\right)^{2} \, dx = \int_{-1}^{2}\left(64-16x^{2}+x^{4}\right)\,dx = \int_{-1}^{2}64\,dx-\int_{-1}^{2}16x^{2}\,dx+\int_{-1}^{2}x^{4}\,dx.

Passo 4

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de cada termo usando a regra da potência:
Regra: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
  • Para 64: \displaystyle \int 64\,dx = 64x + C.
  • Para -16x^{2}: \displaystyle \int -16x^{2}\,dx = -16\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = -\frac{16}{3}x^{3}+C.
  • Para x^{4}: \displaystyle \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}+C.
Somando as primitivas (podemos escolher uma primitiva comum):
F(x)=64x-\frac{16}{3}x^{3}+\frac{x^{5}}{5}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(2)-F(-1).

Passo 5

Calcule F(2). Substituindo x=2:
F(2)=64\cdot2-\frac{16}{3}\cdot 2^{3}+\frac{2^{5}}{5}.
Calcule cada parte:
64\cdot2=128,\qquad 2^{3}=8\Rightarrow -\frac{16}{3}\cdot8=-\frac{128}{3},\qquad 2^{5}=32\Rightarrow \frac{32}{5}.
Colocando em forma fracionária com denominador comum 15:
128=\frac{1920}{15},\qquad -\frac{128}{3}=-\frac{640}{15},\qquad \frac{32}{5}=\frac{96}{15}.
Somando:
F(2)=\frac{1920-640+96}{15}=\frac{1376}{15}.

Passo 6

Calcule F(-1). Substituindo x=-1:
F(-1)=64\cdot(-1)-\frac{16}{3}\cdot(-1)^{3}+\frac{(-1)^{5}}{5}.
Calcule cada parte:
64\cdot(-1)=-64,\qquad (-1)^{3}=-1\Rightarrow -\frac{16}{3}\cdot(-1)=\frac{16}{3},\qquad (-1)^{5}=-1\Rightarrow \frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}.
Colocando em denominador 15:
-64=-\frac{960}{15},\qquad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},\qquad -\frac{1}{5}=-\frac{3}{15}.
Somando:
F(-1)=\frac{-960+80-3}{15}=\frac{-883}{15}.

Passo 7

Agora a integral é
\int_{-1}^{2}\left(8-x^{2}\right)^{2}\,dx=F(2)-F(-1)=\frac{1376}{15}-\left(-\frac{883}{15}\right)=\frac{1376+883}{15}=\frac{2259}{15}.
Simplificando a fração dividindo por 3:
\frac{2259}{15}=\frac{753}{5}.

Resposta

\dfrac{753}{5}

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