Determine a área da região:
y=4 x-x^{2}, eixo x ; x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. Informações fornecidas:
  • A função que define o limite superior é y=4x-x^{2}.
  • Um dos limites é o eixo x (ou seja, a linha y=0).
  • Os outros limites verticais são x=1 e x=4.
    O objetivo é calcular a área da região entre x=1 e x=4 limitada por y=4x-x^{2} e pelo eixo x.

Passo 2

Entender a posição da curva em relação ao eixo x. Encontrar onde y corta o eixo x resolvendo 4x-x^{2}=0.
4x-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x(4-x)=0
As raízes são x=0 e x=4. Como entre as raízes de uma parábola com concavidade para baixo a função é não negativa, a função satisfaz y\ge 0 em [0,4]. Em particular, no intervalo pedido [1,4] temos y\ge 0. Isso é importante porque a área entre a curva e o eixo x é dada pela integral simples (sem valor absoluto) quando y\ge0.

Passo 3

Lembrar a definição prática de área sob uma curva: se uma função y=f(x) é não negativa em [a,b], a área entre a curva e o eixo x é
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui f(x)=4x-x^{2}, a=1 e b=4. Portanto a integral que calcula a área é
\text{Área}=\int_{1}^{4} (4x-x^{2})\,dx.Á

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) de 4x-x^{2}. Usamos a regra do poder: para x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int 4x\,dx=4\int x\,dx=4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2},
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Logo uma primitiva de 4x-x^{2} é
F(x)=2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva F(x):
\text{Área}=F(4)-F(1).Á
Calcular F(4) e F(1):
F(4)=2\cdot 4^{2}-\frac{4^{3}}{3}=2\cdot16-\frac{64}{3}=32-\frac{64}{3},
F(1)=2\cdot1^{2}-\frac{1^{3}}{3}=2-\frac{1}{3}.

Passo 6

Fazer as subtrações com frações em denominador comum:
32-\frac{64}{3}=\frac{96}{3}-\frac{64}{3}=\frac{32}{3},
2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.
Portanto
\text{Área}=\frac{32}{3}-\frac{5}{3}=\frac{27}{3}=9.Á

Passo 7

Checagem final (intuição): a área é positiva e razoável; a curva é uma parábola com vértice em x=2 e altura máxima y(2)=4\cdot2-2^{2}=8-4=4. A região entre x=1 e x=4 tem forma compatível com área 9.

Resposta

9

Exercícios relacionados