Determine a área da região:
, eixo
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas e retas dadas. Informações fornecidas:
- A função que define o limite superior é
. - Um dos limites é o eixo
(ou seja, a linha ). - Os outros limites verticais são
e .
O objetivo é calcular a área da região entree limitada por e pelo eixo .
Passo 2
Entender a posição da curva em relação ao eixo
. Encontrar onde
corta o eixo
resolvendo
.
As raízes são
e
. Como entre as raízes de uma parábola com concavidade para baixo a função é não negativa, a função satisfaz
em
. Em particular, no intervalo pedido
temos
. Isso é importante porque a área entre a curva e o eixo
é dada pela integral simples (sem valor absoluto) quando
.
Passo 3
Lembrar a definição prática de área sob uma curva: se uma função
é não negativa em
, a área entre a curva e o eixo
é
Aqui
,
e
. Portanto a integral que calcula a área é
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) de
. Usamos a regra do poder: para
com
,
Aplicando termo a termo:
Logo uma primitiva de
é
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva
:
Calcular
e
:
Passo 6
Fazer as subtrações com frações em denominador comum:
Portanto
Passo 7
Checagem final (intuição): a área é positiva e razoável; a curva é uma parábola com vértice em
e altura máxima
. A região entre
e
tem forma compatível com área
.