Aplicando-se os conhecimentos de Física Clássica e de Física Quântica responda as questões abaixo:
Quais as diferenças entre as previsões da Física Clássica e as previsões da Física Quântica para os problemas de uma partícula em um poço quadrado infinito unidimensional e em um poço quadrado finito unidimensional? Qual a relação entre o fato da partícula estar localizada e os valores de suas energias?

Passo 1

O enunciado pede para comparar o que a Física Clássica e a Física Quântica prevêem para uma partícula em dois potenciais 1D: poço quadrado infinito e poço quadrado finito. Além disso, quer entender como o grau de localização da partícula afeta os possíveis valores de energia. Vamos usar conceitos de mecânica clássica (energia contínua, movimento livre dentro do poço) e de mecânica quântica (equação de Schrödinger, quantização, princípio da incerteza).

Passo 2

Na Física Clássica, para o poço infinito 1D de comprimento L:
  • A partícula permanece entre x=0 e x=L e ricocheteia elasticamente nas paredes.
  • A energia E pode assumir qualquer valor positivo (contínuo) dado por
E = \frac{p^2}{2m},
com p arbitrário.
  • A partícula se move com velocidade constante dentro do poço e a probabilidade de encontrá-la é uniforme em 0\le x\le L.

Passo 3

Na Física Quântica, para o poço infinito 1D:
  • A equação de Schrödinger estacionária gera valores discretos de energia:
E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},\quad n=1,2,3,\dots
  • As funções de onda são \psi_n(x)=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr), nódos indicam pontos onde \psi_n=0.
  • Há energia mínima (nível fundamental) E_1\neq0, isto é, energia zero não é permitida.
  • A densidade de probabilidade |\psi_n|^2 não é uniforme e depende de n.

Passo 4

Na Física Clássica, para o poço finito 1D de profundidade V_0:
  • Se a energia E < V_0, a partícula fica presa e se move livremente entre as paredes, com energia contínua E\in[0,V_0).
  • Se E\ge V_0, ela escapa do poço. Não há efeito de “túnel”: a probabilidade de escapar é zero quando E<V_0.

Passo 5

Na Física Quântica, para o poço finito de profundidade V_0:
  • Existem estados ligados com energias discretas E_n < V_0. O número de níveis ligados é finito e depende de m, L e V_0.
  • Para E>V_0, surgem estados de espalhamento (contínuo).
  • A função de onda nos estados ligados decai exponencialmente fora do poço x<0 ou x>L, permitindo túnel.
  • A energia mínima não é zero, mas determinada pela quantização e pela “extensão” das caudas fora do poço.

Passo 6

Relação localização × energia:
  • Quanto mais “espalhada” a função de onda (maior incerteza em x), menor a incerteza em p e, em média, menor a energia.
  • Quanto mais localizada no espaço \Delta x pequeno), maior a incerteza em momento ( \Delta p\sim\hbar/2\Delta x e maior a energia mínima (termo de energia cinética de ponto zero).
  • Em termos do princípio de incerteza:
\Delta x\,\Delta p\gtrsim\frac{\hbar}{2}
impõe um “pé-de-meia” de energia mesmo no estado fundamental.

Resposta

Diferenças entre Física Clássica e Quântica:
(a) Poço infinito 1D
• Clássica: energia contínua E=p^2/2m, distribuição uniforme.
• Quântica: níveis discretos E_n=\tfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, nenhuma energia zero, modos \psi_n.
(b) Poço finito 1D
• Clássica: energia contínua abaixo e acima de V_0, sem túnel.
• Quântica: estados ligados discretos E_n< V_0, estados de espalhamento E>V_0, cauda exponencial e efeito túnel.
Relação localização–energia:
mais localização em x implica maior \Delta p e, por consequência, maior energia mínima (princípio da incerteza).

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