Aplicando-se os conhecimentos de Física Clássica e de Física Quântica responda as questões abaixo:
Quais as diferenças entre os resultados previstos pela Física Quântica para os problemas de uma partícula em um poço quadrado infinito unidimensional e em um poço quadrado finito unidimensional?

Passo 1

O enunciado pede para comparar, do ponto de vista da Mecânica Quântica, duas armadilhas unidimensionais para uma partícula: o poço quadrado infinito de largura a e o poço quadrado finito de mesma largura e profundidade finita V_{0}. Vamos precisar das soluções da equação de Schrödinger independente do tempo em cada caso e dos respectivos condicionamentos de contorno, bem como das expressões das energias permitidas e do comportamento das funções de onda.

Passo 2

No poço quadrado infinito temos
V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<a,\\\ \infty, & \text{fora de }[0,a]. \end{cases}
A solução da equação de Schrödinger interna satisfaz \psi(0)=\psi(a)=0 e é
\psi_{n}(x)=\sqrt{\tfrac{2}{a}}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr), \qquad n=1,2,3,\dots
com energias
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}},
um espectro puramente discreto e infinito, igualmente confinado no intervalo e espaçamento entre níveis crescente com n.

Passo 3

No poço quadrado finito definimos
V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<a,\\\ V_{0}, & \text{fora de }[0,a], \end{cases} \qquad V_{0}<\infty.
As funções de onda internas são combinações de senos e cossenos, e externa decaimento exponencial (caudas evanescentes), obedecendo à continuidade de \psi\) e \(\psi'\) em \(x=0\) e \(x=a\). As energias ligadas \(\{E_{n}\}\) satisfazem equações transcendentes do tipo \[ka=\begin{cases} n\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{\kappa}{k}\bigr),&\text{paridade ímpar},\\\ n\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{k}{\kappa}\bigr),&\text{paridade par}, \end{cases}
onde k=\sqrt{2mE}/\hbar\] e \(\kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar. Há apenas um número finito de estados ligados (até E<V_{0}), e acima de V_{0} existe espectro contínuo de espalhamento. Os níveis não são igualmente espaçados e dependem de V_{0}.

Passo 4

Agora reunimos as diferenças principais entre os dois casos para orientar o aluno:
  • comportamento das fronteiras e das funções de onda,
  • natureza e quantidade dos níveis de energia,
  • existência ou não de contínuo de estados,
  • fórmula explícita das energias e uniformidade do espaçamento,
  • possibilidade de tunelamento.

Resposta

  • No poço infinito a função de onda é exatamente zero fora de [0,a]; no poço finito há caudas exponenciais fora, mostrando tunelamento.
  • O espectro infinito tem infinitos níveis ligados, todos discretos e dados por
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}},
igualmente crescentes em n. No poço finito só há um número finito de níveis ligados (limite E<V_{0}) e acima de V_{0} surge um espectro contínuo.
  • Os níveis do poço infinito são proporcionais a n^{2} e igualmente espaçados em função de n^{2}, enquanto no poço finito as energias satisfazem equações transcendentes e não formam série proporcional rígida a n^{2}.
  • No poço finito há possibilidade de tunelamento (não há paredes “intransponíveis”), o que não existe no poço infinito, onde a partícula fica estritamente confinada.

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