Uma partícula de massa se encontra em uma região do espaço cuja energia potencial é dada por
\left\{\begin{array}{lrl} U & =\infty & x<0 \\\ U & =0 & 0<x<a \\\ U & =U_{0} & a<x<b \\\ U & =\infty & x>b . \end{array}\right.
A) Determine a forma da solução da Equação de Schrödinger independente do tempo em cada uma das regiões descritas pela energia potencial quando a energia da partícula E for menor que \mathrm{U}_{0}.
B) Encontre uma relação matemática que permita encontrar as energias permitidas para essa partícula.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m\) confinada em \(0<x<b\) por “paredes” infinitas em \(x=0\) e \(x=b\), com potencial \[U(x)=\begin{cases} \infty,&x<0,\\\\ 0,&0<x<a,\\\ U_{0},&a<x<b,\\\ \infty,&x>b, \end{cases}
e energia E<U_{0}\]. Conteúdo: solução da Equação de Schrödinger independente do tempo em cada região (onde o potencial é constante) e aplicação das condições de contorno (paredes infinitas e continuidade de \(\psi e \psi') para obter a equação que quantiza as energias.

Passo 2

Em cada região a E-Schrödinger vale
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+U(x)\,\psi=E\,\psi.
Como U é constante em cada trecho, as soluções são:
– Região I (x<0) e IV (x>b): U=\infty implica \psi=0.
– Região II (0<x<a), onde U=0: escrevemos
\psi_{II}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx), \quad k=\sqrt{\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}}.
– Região III (a<x<b), onde U=U_{0}: como E<U_{0}, definimos
\kappa=\sqrt{\tfrac{2m(U_{0}-E)}{\hbar^{2}}},
e a solução geral é
\psi_{III}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}.

Passo 3

Impondo as paredes infinitas: \psi_{II}(0)=0 \Rightarrow B=0, logo
\psi_{II}(x)=A\sin(kx).
E \psi_{III}(b)=0 \Rightarrow C\,e^{\kappa b}+D\,e^{-\kappa b}=0.
É conveniente reescrever \psi_{III} como forma de seno hiperbólico que zera em x=b:
\psi_{III}(x)=G\,\operatorname{sinh}\bigl[\kappa(b-x)\bigr],
onde G é constante proporcional a D.

Passo 4

Continuamos impondo continuidade de \psi e \psi' em x=a:
\psi_{II}(a)=\psi_{III}(a), \quad \psi'_{II}(a)=\psi'_{III}(a).
Isso dá
A\sin(k\,a) =G\,\operatorname{sinh}\bigl[\kappa(b-a)\bigr],
A\,k\cos(k\,a) =-\,G\,\kappa\operatorname{cosh}\bigl[\kappa(b-a)\bigr].

Passo 5

Dividindo a segunda igualdade pela primeira, elimina-se A e G, resultando na condição transcendental para as energias permitidas:
k\cot\bigl(k\,a\bigr) =-\,\kappa\coth\!\bigl[\kappa\,(b-a)\bigr],
com
k=\sqrt{\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}}, \qquad \kappa=\sqrt{\tfrac{2m(U_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.

Resposta

A) Em cada região:
\psi(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\ A\sin\bigl(kx\bigr),&0<x<a,\\\ G\,\operatorname{sinh}\bigl[\kappa(b-x)\bigr],&a<x<b,\\\\ 0,&x>b, \end{cases} \quad k=\sqrt{\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}}, \quad \kappa=\sqrt{\tfrac{2m(U_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
B) As energias E satisfazem
k\cot\bigl(k\,a\bigr) =-\,\kappa\coth\!\bigl[\kappa\,(b-a)\bigr].

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