Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
\log _{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{32}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{32}.
Aqui vamos usar a definição de logaritmo e propriedades de potências:
se \log_a b = y então a^y = b.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o argumento e a base como potências de 2:
\sqrt[3]{32} = 32^{\frac{1}{3}} = (2^5)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}},
e
\tfrac{1}{2} = 2^{-1}.

Passo 3

Então estamos buscando y tal que
(2^{-1})^y = 2^{\frac{5}{3}}.

Passo 4

Pela propriedade de potências, (2^{-1})^y = 2^{-y}.
Logo a equação fica
2^{-y} = 2^{\frac{5}{3}}.
Como as bases coincidem, igualamos os expoentes:
-y = \frac{5}{3}.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y = -\frac{5}{3}.

Resposta

-\frac{5}{3}

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