Aplicando o método de Gauss, resolver e classificar os sistemas abaixo:
a)
\left{ c2 x-y+4 z=0 3 x+6 y-18 z=0\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema homogêneo com duas equações e três incógnitas:
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para sistemas lineares, onde vamos determinar o posto da matriz de coeficientes, expressar as variáveis livres em função de parâmetros e classificar o sistema.

Passo 2

Começamos aplicando operações elementares. Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
3cdot(2x - y + 4z)=0 Longrightarrow 6x -3y +12z=0,
2cdot(3x +6y -18z)=0 Longrightarrow 6x +12y -36z=0
Agora subtraímos a primeira dessas da segunda:
(6x +12y -36z)-(6x -3y +12z)=0 Longrightarrow 15y -48z=0
Essa é nossa equação reduzida.

Passo 3

A equação reduzida 15y -48z=0
15y = 48z Longrightarrow y = 4815,z = 165,z
Substituindo em 2x - y +4z=0:
2x - 165z +4z = 0 Longrightarrow 2x + 45z = 0 Longrightarrow x = -25,z
Tomando z=t como parâmetro livre, obtemos a solução geral
(x,y,z) = l(-tfrac25t,;tfrac165t,;tr) = tl(-tfrac25,;tfrac165,;1r)

Passo 4

A matriz de coeficientes tem posto rho=2 (duas equações não-proporcionais) e há 3 incógnitas, logo o sistema é compatível indeterminado, com dimensão do espaço solução igual a 3-rho=1.

Resposta

Solução geral:
(x,y,z)=tl(-tfrac25,;tfrac165,;1r), tinR
Classificação: sistema compatível indeterminado (posto 2, uma família de soluções unidimensional).

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