Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^+infty cosh (x)1+senh(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^+inftycosh(x)1+sinh(x),dx.
O conteúdo aqui é o estudo de convergência de integrais impróprias e uso de substituição para encontrar antiderivada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sinh(x), du = cosh(x),dx
Quando x=0 temos u=0, e quando xto+infty temos uto+infty. Assim
integral0^+inftycosh(x)1+sinh(x),dx =integral0^+inftydu1+u

Passo 3

A primitiva de 11+u é ln(1+u). Portanto, a integral de 0 até R vale
integral0^Rdu1+u =l[ln(1+u)r]0^R =ln(1+R)-ln(1+0) =ln(1+R)

Passo 4

Para verificar a convergência, analisamos
limRto+inftyln(1+R) =+infty
Como esse limite é infinito, a integral não converge.

Resposta

A integral diverge; não é convergente.

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