Questão 4-A superfície dada pela equação x^2+y^2=1 pode ser parametrizada pela função vetorial r(u, v)=(cos v, sin v, u), em que 0 <= v <= 2 pi e^-infty <= u <= infty.

Passo 1

O enunciado descreve a superfície
x^2 + y^2 = 1
que é um cilindro circular de raio 1 estendido ao longo do eixo z. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, um ponto na superfície de raio r=1 é dado por
x = rcos v, y = rsin v, z = u
com r=1. Aqui escolhemos
vin[0,2pi]
como o ângulo polar em torno do eixo z e
uin(-infty,infty)
como a altura ao longo de z.

Passo 3

Substituindo r=1 vemos que
x = cos v, y = sin v, z = u
satisfaz exatamente x^2 + y^2 = cos^2 v + sin^2 v = 1. Logo a parametrização fica
vec r(u,v) = (cos v,;sin v,;u)

Resposta

vec r(u,v) = (cos v,;sin v,;u), 0 <= v <= 2pi,;-infty < u < infty

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