Aplicando o método da substituição, calcule:
integral sen(x) cos ^-2(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin(x),cos^-2(x),dx
usando o método da substituição. Vamos definir uma nova variável u de modo a simplificar essa integral.

Passo 2

Escolhemos
u = cos(x)
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = -sin(x),dx Longrightarrow sin(x),dx = -,du

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u. Note que cos^-2(x)=u^-2 e sin(x),dx=-du. Logo,
integral sin(x),cos^-2(x),dx = integral l(u^-2r),(-du) = -integral u^-2,du

Passo 4

Agora integramos em u. Como integral u^-2,du = integral u^-2,du = u^-1/(-1), obtemos
- integral u^-2,du = -l(u^-1-1r) = u^-1 = 1u

Passo 5

Voltando à variável original, lembramos que u=cos(x). Então
1u = 1cos(x) = sec(x)
Não esqueça da constante de integração C.

Resposta

integral sin(x),cos^-2(x),dx = sec(x) + C

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