Em cada um dos Problemas de 13 a 18 , encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=ll0, & t<2 (t-2)^2, & t >= 2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= 0, & t<2, (t-2)^2, & t>=2
O conteúdo principal aqui é o uso do teorema do deslocamento (segunda propriedade de translação no domínio do tempo). Vamos expressar f(t) em termos de um degrau unitário e em seguida aplicar esse teorema.

Passo 2

Definimos a função g(tau)=tau^2 e escrevemos
f(t)=u(t-2),g(t-2),
onde u(t-2) é o degrau unitário deslocado em t=2. Assim, para t>=2, g(t-2)=(t-2)^2, e para t<2 o produto com u(t-2)=0 garante f(t)=0.

Passo 3

Pelo teorema do deslocamento no tempo, sabemos que
L,u(t-a),g(t-a),(s) = e^-a s,G(s),
onde
G(s)=Lg(tau)(s)

Passo 4

Calculamos G(s) para g(tau)=tau^2:
G(s) =integral0^inftytau^2e^-stau,dtau =2s^3
Esse é um resultado padrão de transformada de tau^n.

Passo 5

Aplicando o teorema com a=2 e G(s)=2/s^3, obtemos
Lf(t)(s) = e^-2s,2s^3

Resposta

Lf(t)(s)=2,e^-2ss^3

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