Aplicando as propriedades e teoremas das derivadas calcule:
y=ln 1+x^21-x^2

Passo 1

A função dada é y=ln1+x^21-x^2. Aqui vamos trabalhar com derivada de logaritmo, usando a propriedade ln(a/b)=ln a-ln b e a regra da cadeia para derivar internamente cada termo.

Passo 2

Aplicando ln(a/b)=ln a-ln b obtemos:
y=ln(1+x^2)-ln(1-x^2)
Essa separação nos permite derivar cada parte isoladamente.

Passo 3

Derivando termo a termo com a regra da cadeia: a derivada de ln(1+x^2) é 11+x^2cdot2x e a de -ln(1-x^2) é -1)cdot11-x^2cdot(-2x). Logo:
y'=2x1+x^2+2x1-x^2

Passo 4

Para simplificar, fatoramos 2x e somamos as frações sobre o mesmo denominador (1+x^2)(1-x^2)=1-x^4:
y'=2xl(11+x^2+11-x^2r)=2x(1-x^2)+(1+x^2)1-x^4=2x21-x^4=4x1-x^4

Resposta

y'=4x1-x^4

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