Aplicando as propriedades e teoremas das derivadas calcule:
y=log a(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=loga(x^2+1). Isso envolve derivadas de logaritmos e aplicação da regra da cadeia. Vamos usar a mudança de base loga t = ln tln a e a derivada de ln.

Passo 2

Reescrevo y usando a mudança de base:
y = ln(x^2+1)ln a
Aqui ln a é constante.

Passo 3

Aplico a derivada. Como 1/ln a é constante,
y' = 1ln acdotddx[ln(x^2+1)]
Para derivar ln(x^2+1) uso a regra da cadeia, lembrando que a derivada de ln(u) é u'/u.

Passo 4

Definindo u=x^2+1 temos u'=2x. Logo,
ddx[ln(x^2+1)] = 2xx^2+1
Substituindo de volta,
y' = 1ln acdot2xx^2+1 = 2x(x^2+1),ln a

Resposta

2x(x^2+1),ln a

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