Aplicando a regra da cadeia, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Ou seja: encontrar
, a derivada de
em relação a
. As informações importantes que temos são exatamente os termos dentro do parêntese
e o expoente
.
Passo 2
Regra que vamos usar (regra da cadeia, explicada passo a passo).
Se tivermos uma função composta do tipo
, a regra da cadeia diz que
O que isso significa, em palavras simples:
- Identifica-se a função externa
(aquela aplicada por último) e a função interna (aquela dentro). - Deriva-se a função externa em relação à sua variável (como se fosse
), e depois substitui-se nessa derivada. - Multiplica-se pelo derivado da função interna
.
No caso de uma potência
(com
constante), a aplicação da regra da cadeia com a regra da potência dá:
Aqui:
-
é a parte interna (a expressão dentro do parêntese); -
é o expoente; -
é a derivada da parte interna.
Passo 3
Identificação da parte externa e da interna para a nossa função.
Definimos
(e essa é a parte interna) e a parte externa é
Aplicando a regra da potência/ cadeia, primeiro precisamos de
e de
.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivada da parte externa em relação a
:
Derivada da parte interna em relação a
:
-
(regra do poder: , multiplicado pelo coeficiente ); -
; -
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e simplificar.
Pela regra da cadeia,
Substituindo
,
Podemos multiplicar o
pelo fator linear para simplificar um pouco:
Logo uma forma mais compacta é
Passo 6
Comentário prático e checagem rápida (como fazer rápido na prova).
Na hora da prova: reconheça a estrutura
. Diferencie a potência (trazendo o
e reduzindo o expoente para
) e multiplique pelo derivado do “algo”. Por exemplo, para
faria
. Mesmo raciocínio aqui, só que o “algo” é quadrático.
Força aí — a técnica é sempre a mesma e, com prática, fica automática!