Aplicando a regra da cadeia, derive as seguintes funções:
g(x)=\left(2 x^{2}-5 x+1\right)^{8}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
g(x)=\left(2x^{2}-5x+1\right)^{8}.
Ou seja: encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x. As informações importantes que temos são exatamente os termos dentro do parêntese 2x^{2}-5x+1 e o expoente 8.

Passo 2

Regra que vamos usar (regra da cadeia, explicada passo a passo).
Se tivermos uma função composta do tipo \,h(x)=f(u(x))\,, a regra da cadeia diz que
h'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
O que isso significa, em palavras simples:
  • Identifica-se a função externa f (aquela aplicada por último) e a função interna u (aquela dentro).
  • Deriva-se a função externa em relação à sua variável (como se fosse u), e depois substitui-se u(x) nessa derivada.
  • Multiplica-se pelo derivado da função interna u'(x).
No caso de uma potência \,u(x)^{n}\, (com n constante), a aplicação da regra da cadeia com a regra da potência dá:
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a parte interna (a expressão dentro do parêntese);
  • n é o expoente;
  • u'(x) é a derivada da parte interna.

Passo 3

Identificação da parte externa e da interna para a nossa função.
Definimos
u(x)=2x^{2}-5x+1
(e essa é a parte interna) e a parte externa é
f(u)=u^{8}.
Aplicando a regra da potência/ cadeia, primeiro precisamos de f'(u) e de u'(x).

Passo 4

Calcular f'(u) e u'(x).
Derivada da parte externa em relação a u:
f'(u)=8u^{7}.
Derivada da parte interna em relação a x:
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=4x (regra do poder: d(x^{2})/dx=2x, multiplicado pelo coeficiente 2);
  • \dfrac{d}{dx}(-5x)=-5;
  • \dfrac{d}{dx}(1)=0.
Portanto
u'(x)=4x-5.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e simplificar.
Pela regra da cadeia,
g'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=8\big(u(x)\big)^{7}\cdot\big(4x-5\big).
Substituindo u(x)=2x^{2}-5x+1,
g'(x)=8\big(2x^{2}-5x+1\big)^{7}\cdot(4x-5).
Podemos multiplicar o 8 pelo fator linear para simplificar um pouco:
8(4x-5)=32x-40.
Logo uma forma mais compacta é
g'(x)=(32x-40)\,\big(2x^{2}-5x+1\big)^{7}.

Passo 6

Comentário prático e checagem rápida (como fazer rápido na prova).
Na hora da prova: reconheça a estrutura (\text{algo})^{8}. Diferencie a potência (trazendo o 8 e reduzindo o expoente para 7) e multiplique pelo derivado do “algo”. Por exemplo, para (3x+1)^{5} faria 5(3x+1)^{4}\cdot 3 = 15(3x+1)^{4}. Mesmo raciocínio aqui, só que o “algo” é quadrático.
Força aí — a técnica é sempre a mesma e, com prática, fica automática!

Resposta

g'(x)=(32x-40)\,\big(2x^{2}-5x+1\big)^{7}

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