2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a função
As perguntas implícitas são:
- Calcular a derivada
dessa função.
Informações relevantes dadas: - Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
(observe que a base aqui é negativa: ).
Passo 2
Regra de derivação para potências (regra do “power rule”) — aula rápida e suave.
- Se temos uma função do tipo
com sendo um número real (em situações usuais de cálculo com inteiro), a derivada é dada por
O que isso significa: multiplica-se pela potência atual
e diminui-se a potência em
. Exemplo rápido:
.
- Se a função é
com constante, a derivada é vezes a derivada de :
Passo 3
Trabalhar o segundo termo escrevendo-o com expoente negativo (isso facilita a aplicação da regra do power):
Agora os três termos estão em formas usuais:
Passo 4
Derivada do primeiro termo usando a regra do power:
- Temos
. Aqui e .
Aplicando a fórmula:
Expliquei passo a passo: multiplica-se
por
e reduz-se o expoente de
para
.
Passo 5
Derivada do segundo termo usando a regra do power:
- Temos
. Aqui e .
Aplicando a fórmula:
Se preferir, isso é
.
Passo 6
Derivada do termo exponencial
(regra e justificativa):
- Regra conhecida (que vou justificar de forma curta): para base positiva
,
Justificativa rápida: escreve-se
e aplica-se a regra da cadeia:
Observação importante sobre domínio (não pule isso!): essa dedução exige que
esteja bem definido como número real, ou seja,
. Se
for negativo (como
no nosso caso), a função
não é, em geral, uma função real definida para todo
; a extensão via
usa o logaritmo complexo e produz valores complexos em geral. Portanto:
- Se a intenção for trabalhar em funções reais para todo
, a expressão não é definida para todos os reais; a derivada real usual não existe em geral. - Se aceitarmos a extensão complexa (ou apenas aplicarmos formalmente a regra da exponencial, como frequentemente se faz em exercícios elementares), então podemos diferenciar usando a mesma fórmula, substituindo
e obtendo um fator (complexo).
Passo 7
Aplicando a derivada do exponencial ao termo
, com a ressalva anterior:
- Formalmente,
e, como há um sinal negativo na frente, a derivada do terceiro termo é
Reforçando: essa expressão usa
, que é um número complexo (
numa escolha padrão de ramo). Se a questão espera uma derivada real e a função foi pensada apenas para
inteiros, então a derivada clássica em
não se aplica; muitas turmas, porém, aplicam a regra formal e aceitam a expressão com
.
Passo 8
Juntando todas as parcelas (usando as derivadas que calculamos):
- derivada do primeiro termo:
. - derivada do segundo termo:
. - derivada do terceiro termo (formal):
.
Portanto a expressão da derivada, escrita de forma compacta, é