2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{3} x^{6}+\frac{3}{x^{4}}-\left(-\frac{1}{3}\right)^{x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{1}{3}x^{6}+\frac{3}{x^{4}}-\left(-\frac{1}{3}\right)^{x}
As perguntas implícitas são:
  • Calcular a derivada f'(x) dessa função.
    Informações relevantes dadas:
  • Primeiro termo: \frac{1}{3}x^{6}.
  • Segundo termo: \frac{3}{x^{4}}.
  • Terceiro termo: -\left(-\frac{1}{3}\right)^{x} (observe que a base aqui é negativa: -\tfrac{1}{3}).

Passo 2

Regra de derivação para potências (regra do “power rule”) — aula rápida e suave.
  • Se temos uma função do tipo \;x^{n}\; com n sendo um número real (em situações usuais de cálculo com n inteiro), a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa: multiplica-se pela potência atual n e diminui-se a potência em 1. Exemplo rápido: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Se a função é c\cdot x^{n} com c constante, a derivada é c vezes a derivada de x^{n}:
\frac{d}{dx}\bigl(c\,x^{n}\bigr)=c\cdot n\,x^{n-1}.

Passo 3

Trabalhar o segundo termo escrevendo-o com expoente negativo (isso facilita a aplicação da regra do power):
\frac{3}{x^{4}}=3\,x^{-4}.
Agora os três termos estão em formas usuais:
f(x)=\frac{1}{3}x^{6}+3x^{-4}-\left(-\frac{1}{3}\right)^{x}.

Passo 4

Derivada do primeiro termo usando a regra do power:
  • Temos \frac{1}{3}x^{6}. Aqui c=\frac{1}{3} e n=6.
    Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}x^{6}\right)=\frac{1}{3}\cdot 6\,x^{5}=2\,x^{5}.
Expliquei passo a passo: multiplica-se \tfrac{1}{3} por 6 e reduz-se o expoente de 6 para 5.

Passo 5

Derivada do segundo termo usando a regra do power:
  • Temos 3x^{-4}. Aqui c=3 e n=-4.
    Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-4}\bigr)=3\cdot(-4)\,x^{-5}=-12\,x^{-5}.
Se preferir, isso é -\dfrac{12}{x^{5}}.

Passo 6

Derivada do termo exponencial a^{x} (regra e justificativa):
  • Regra conhecida (que vou justificar de forma curta): para base positiva a>0,
\frac{d}{dx}\bigl(a^{x}\bigr)=a^{x}\ln(a).
Justificativa rápida: escreve-se a^{x}=e^{x\ln(a)} e aplica-se a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{x\ln(a)}=e^{x\ln(a)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(a)\bigr)=e^{x\ln(a)}\ln(a)=a^{x}\ln(a).
Observação importante sobre domínio (não pule isso!): essa dedução exige que \ln(a) esteja bem definido como número real, ou seja, a>0. Se a for negativo (como -\tfrac{1}{3} no nosso caso), a função a^{x} não é, em geral, uma função real definida para todo x\in\mathbb{R}; a extensão via e^{x\ln(a)} usa o logaritmo complexo e produz valores complexos em geral. Portanto:
  • Se a intenção for trabalhar em funções reais para todo x, a expressão \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x} não é definida para todos os x reais; a derivada real usual não existe em geral.
  • Se aceitarmos a extensão complexa (ou apenas aplicarmos formalmente a regra da exponencial, como frequentemente se faz em exercícios elementares), então podemos diferenciar usando a mesma fórmula, substituindo a=-\tfrac{1}{3} e obtendo um fator \ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right) (complexo).

Passo 7

Aplicando a derivada do exponencial ao termo -\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}, com a ressalva anterior:
  • Formalmente,
\frac{d}{dx}\left[\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\right]=\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right),
e, como há um sinal negativo na frente, a derivada do terceiro termo é
\frac{d}{dx}\left[-\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\right]=-\,\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).
Reforçando: essa expressão usa \ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right), que é um número complexo ( \ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\ln\!\tfrac{1}{3}+i\pi numa escolha padrão de ramo). Se a questão espera uma derivada real e a função foi pensada apenas para x inteiros, então a derivada clássica em \mathbb{R} não se aplica; muitas turmas, porém, aplicam a regra formal e aceitam a expressão com \ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).

Passo 8

Juntando todas as parcelas (usando as derivadas que calculamos):
  • derivada do primeiro termo: 2x^{5}.
  • derivada do segundo termo: -12x^{-5}.
  • derivada do terceiro termo (formal): -\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).
Portanto a expressão da derivada, escrita de forma compacta, é
f'(x)=2\,x^{5}-12\,x^{-5}-\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).

Resposta

f'(x)=2\,x^{5}-12\,x^{-5}-\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{x}\ln\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)

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