(9 pontos) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x^{0}}, x>0 é uma solução da equaçio
x y^{0}-2 y^{\prime}-9 x^{3} y=0
Determine a soluçīo geral dessa equaçio diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • É dada a função \,y_{1}(x)=e^{x^{0}}, com x>0, como “uma solução” da equação.
  • A equação diferencial dada é
x\,y^{0}-2\,y^{\prime}-9\,x^{3}\,y=0.
  • A pergunta: determinar a solução geral dessa equação diferencial.
Observação imediata sobre as notações (sem resolver ainda):
  • Aqui a notação y^{0} representa a derivada de ordem zero, isto é, a própria função y. Portanto a equação pode ser lida como x\,y - 2 y' - 9 x^{3} y = 0.
  • O que se pede é a solução geral y(x) que satisfaça a equação para x>0.

Passo 2

Reescrevendo a equação usando y^{0}=y:
x\,y - 2\,y' - 9\,x^{3}\,y = 0.
Agrupando os termos envolvendo y' e y para deixar na forma padrão (isolando y'):
-2\,y' + \bigl(x - 9x^{3}\bigr)y = 0.
Passando o coeficiente de y' para o outro lado e dividindo por -2:
y' = \frac{1}{2}\bigl(x - 9x^{3}\bigr)\,y.

Passo 3

Identificação do tipo de equação e método de solução:
  • A equação que temos agora é de primeira ordem e do tipo linear homogênea com variável dependente multiplicada por função de x. Também é uma equação separável da forma
\frac{dy}{dx} = p(x)\,y,
onde aqui \,p(x)=\dfrac{1}{2}\bigl(x-9x^{3}\bigr).
  • Para esse tipo de equação a técnica padrão é separar as variáveis ou usar a fórmula geral: as soluções não nulas têm a forma
y(x)=C\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr),
onde C é constante arbitrária. Vou explicar por quê: se \dfrac{dy}{dx}=p(x)y, divide-se por y (assumindo y\neq0) e integra-se:
\frac{1}{y}\,dy = p(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=\int p(x)\,dx + \text{const.}
Exponenciando obtém-se a fórmula acima.

Passo 4

Calcular a primitiva de p(x):
p(x)=\frac{1}{2}\bigl(x-9x^{3}\bigr).
Vamos integrar termo a termo:
\int p(x)\,dx = \frac{1}{2}\int \bigl(x-9x^{3}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x^{2}}{2} - 9\cdot\frac{x^{4}}{4}\Bigr).
Simplificando os coeficientes:
\int p(x)\,dx = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{9}{8}x^{4} + C_{0},
onde C_{0} é constante de integração que será absorvida pela constante multiplicativa da solução geral.

Passo 5

Aplicar a fórmula da solução geral:
y(x)=C\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = C\exp\!\Bigl(\frac{1}{4}x^{2}-\frac{9}{8}x^{4}\Bigr),
onde C é uma constante real arbitrária. Esta é a família de soluções (inclui a solução trivial C=0).

Passo 6

Verificação breve (sanidade): podemos derivar y e substituir na equação original para conferir que a expressão encontrada satisfaz a equação. Esse procedimento confirma que a forma exponencial encontrada é consistente com a equação de primeira ordem que derivámos.

Passo 7

Comentário sobre a informação dada no enunciado: o enunciado afirmava que \,y_{1}(x)=e^{x^{0}} é uma solução. Note que e^{x^{0}}=e^{1}=e é uma função constante não nula; substituindo y(x)\equiv e na equação original obter-se-ia, em geral, um termo não nulo, logo essa constante e não verifica a equação para todos x>0. Isso indica que provavelmente houve um problema de digitação no enunciado original (por exemplo um expoente diferente de 0 foi escrito por engano). Independentemente disso, a solução geral correta da equação tal como escrita e interpretada acima é a que encontramos no passo anterior.

Resposta

y(x)=C\exp\!\Bigl(\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{9}{8}x^{4}\Bigr), com C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados