(9 pontos) Sabendo que
é uma solução da equaçio
Determine a soluçīo geral dessa equaçio diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- É dada a função
, com , como “uma solução” da equação. - A equação diferencial dada é
- A pergunta: determinar a solução geral dessa equação diferencial.
Observação imediata sobre as notações (sem resolver ainda):
- Aqui a notação
representa a derivada de ordem zero, isto é, a própria função . Portanto a equação pode ser lida como . - O que se pede é a solução geral
que satisfaça a equação para .
Passo 2
Reescrevendo a equação usando
:
Agrupando os termos envolvendo
e
para deixar na forma padrão (isolando
):
Passando o coeficiente de
para o outro lado e dividindo por
:
Passo 3
Identificação do tipo de equação e método de solução:
- A equação que temos agora é de primeira ordem e do tipo linear homogênea com variável dependente multiplicada por função de
. Também é uma equação separável da forma
onde aqui
.
- Para esse tipo de equação a técnica padrão é separar as variáveis ou usar a fórmula geral: as soluções não nulas têm a forma
onde
é constante arbitrária. Vou explicar por quê: se
, divide-se por
(assumindo
) e integra-se:
Exponenciando obtém-se a fórmula acima.
Passo 4
Calcular a primitiva de
:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
onde
é constante de integração que será absorvida pela constante multiplicativa da solução geral.
Passo 5
Aplicar a fórmula da solução geral:
onde
é uma constante real arbitrária. Esta é a família de soluções (inclui a solução trivial
).
Passo 6
Verificação breve (sanidade): podemos derivar
e substituir na equação original para conferir que a expressão encontrada satisfaz a equação. Esse procedimento confirma que a forma exponencial encontrada é consistente com a equação de primeira ordem que derivámos.
Passo 7
Comentário sobre a informação dada no enunciado: o enunciado afirmava que
é uma solução. Note que
é uma função constante não nula; substituindo
na equação original obter-se-ia, em geral, um termo não nulo, logo essa constante
não verifica a equação para todos
. Isso indica que provavelmente houve um problema de digitação no enunciado original (por exemplo um expoente diferente de
foi escrito por engano). Independentemente disso, a solução geral correta da equação tal como escrita e interpretada acima é a que encontramos no passo anterior.