Aplicando a regra de Cramer, resolva o sistema linear c2 x-y+3 z+w=-8 x+5 y-6 z-2 w=9 -3 x+2 y-3 z+4 w=-14 x+3 y+9 z+w=2

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 4times4 e pede para resolver usando a regra de Cramer. O conteúdo é Álgebra Linear: para cada incógnita xi calculamos o determinante do coeficiente original, det(A), e o determinante da matriz que substitui a coluna i pelos termos independentes, det(Ai). Então
xi = det(Ai)det(A)

Passo 2

Vamos primeiro montar a matriz de coeficientes
A = 2 & -1 & 3 & 1 1 & 5 & -6 & -2 -3 & 2 & -3 & 4 1 & 3 & 9 & 1
e calcular D=det(A) por expansão na primeira linha. Chamando os menores correspondentes de M1j, obtemos
M11&=det5&-6&-22&-3&43&9&1=-309, M12&=det1&-6&-2-3&-3&41&9&1=-33, M13&=det1&5&-2-3&2&41&3&1=47, M14&=det1&5&-6-3&2&-31&3&9=213
Como
D = 2,M11 ;-;(-1),M12;+;3,M13;-;1,M14 =2(-309)-(-1)(-33)+3cdot47-213=-723,
temos det(A)=-723neq0, logo há solução única.

Passo 3

Para x substituímos a primeira coluna de A pelos termos independentes (-8,9,-14,2), formando Ax, e calculamos
Dx=det(Ax)=1446
Pela regra de Cramer,
x = DxD = 1446-723 = -2

Passo 4

Para y substituímos a segunda coluna de A pelos termos independentes, obtendo-se
Dy = -723,
portanto
y = DyD = -723-723 = 1

Passo 5

Para z substituímos a terceira coluna de A, calculamos
Dz = -482,
logo
z = DzD = -482-723 = 23

Passo 6

Para w substituímos a quarta coluna de A, obtemos
Dw = 3615,
e assim
w = DwD = 3615-723 = -5

Resposta

x=-2
y=1
z=23
w=-5

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