Aplicando as regras básicas de diferenciação, determine a derivada de cada função.
f(x)=(−2x3+2x2+x−1)(6x2+8x−3)=

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \bigl(-2x^{3} + 2x^{2} + x - 1\bigr)\bigl(6x^{2} + 8x - 3\bigr)
e pede para determinar a derivada f'(x). Informações relevantes: a função é o produto de duas funções polinomiais; queremos a derivada em termos de x.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz que, para duas funções u(x) e v(x),
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. A ideia é derivar uma mantendo a outra e somar o contrário — é a fórmula padrão e muito útil em provas.

Passo 3

Escolho
u(x) = -2x^{3} + 2x^{2} + x - 1
e
v(x) = 6x^{2} + 8x - 3.
Assim aplicarei a regra do produto com essas duas funções.

Passo 4

Fórmula básica que usarei para cada termo polinomial: regra da potência (power rule). Se g(x)=a x^{n} com a constante e n inteiro, então
g'(x) = a n x^{n-1}.
Explico: multiplicamos o coeficiente a pelo expoente n e diminuímos o expoente em 1. Isso vale para cada monômio em polinômios.

Passo 5

Calculando u'(x) termo a termo usando a regra da potência:
  • derivada de -2x^{3} é -2\cdot 3 x^{2} = -6x^{2},
  • derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2 x^{1} = 4x,
  • derivada de x é 1,
  • derivada de -1 é 0.
Logo
u'(x) = -6x^{2} + 4x + 1.

Passo 6

Calculando v'(x) termo a termo:
  • derivada de 6x^{2} é 6\cdot 2 x^{1} = 12x,
  • derivada de 8x é 8,
  • derivada de -3 é 0.
Logo
v'(x) = 12x + 8.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) = \bigl(-6x^{2}+4x+1\bigr)\bigl(6x^{2}+8x-3\bigr) + \bigl(-2x^{3}+2x^{2}+x-1\bigr)\bigl(12x+8\bigr).
Agora vou desenvolver ambas as multiplicações e simplificar.

Passo 8

Expandindo a primeira multiplicação \bigl(-6x^{2}+4x+1\bigr)\bigl(6x^{2}+8x-3\bigr). Faço termo a termo:
\begin{aligned} &(-6x^{2})\cdot(6x^{2}) = -36x^{4},\\\ &(-6x^{2})\cdot(8x) = -48x^{3},\\\ &(-6x^{2})\cdot(-3) = 18x^{2},\\\ &(4x)\cdot(6x^{2}) = 24x^{3},\\\ &(4x)\cdot(8x) = 32x^{2},\\\ &(4x)\cdot(-3) = -12x,\\\ &1\cdot(6x^{2}) = 6x^{2},\\\ &1\cdot(8x) = 8x,\\\ &1\cdot(-3) = -3. \end{aligned}
Somando termos semelhantes:
\bigl(-6x^{2}+4x+1\bigr)\bigl(6x^{2}+8x-3\bigr) = -36x^{4} -24x^{3} +56x^{2} -4x -3.

Passo 9

Agora a segunda multiplicação \bigl(-2x^{3}+2x^{2}+x-1\bigr)\bigl(12x+8\bigr). Faço termo a termo:
Multiplicando por 12x:
\begin{aligned} &(-2x^{3})\cdot(12x) = -24x^{4},\\\ &(2x^{2})\cdot(12x) = 24x^{3},\\\ &(x)\cdot(12x) = 12x^{2},\\\ &(-1)\cdot(12x) = -12x. \end{aligned}
Multiplicando por 8:
\begin{aligned} &(-2x^{3})\cdot 8 = -16x^{3},\\\ &(2x^{2})\cdot 8 = 16x^{2},\\\ &(x)\cdot 8 = 8x,\\\ &(-1)\cdot 8 = -8. \end{aligned}
Somando:
\bigl(-2x^{3}+2x^{2}+x-1\bigr)\bigl(12x+8\bigr) = -24x^{4} +8x^{3} +28x^{2} -4x -8.

Passo 10

Somando as duas expansões (Passos 8 e 9) para obter f'(x):
\begin{aligned} f'(x) &= \bigl(-36x^{4} -24x^{3} +56x^{2} -4x -3\bigr)\\\ &\quad + \bigl(-24x^{4} +8x^{3} +28x^{2} -4x -8\bigr). \end{aligned}
Agora combino coeficientes termo a termo:
\begin{aligned} x^{4}:&\\\ -36 + (-24) = -60,\\\ x^{3}:&\\\ -24 + 8 = -16,\\\ x^{2}:&\\\ 56 + 28 = 84,\\\ x^{1}:&\\\ -4 + (-4) = -8,\\\ x^{0}:&\\\ -3 + (-8) = -11. \end{aligned}
Portanto
f'(x) = -60x^{4} -16x^{3} +84x^{2} -8x -11.

Passo 11

Verificação rápida (opcional, boa prática): se eu primeiro expandir f(x) e depois derivar, obtenho o mesmo resultado. Expandindo f(x)
f(x) = -12x^{5} -4x^{4} +28x^{3} -4x^{2} -11x +3,
cuja derivada termo a termo é
f'(x) = -60x^{4} -16x^{3} +84x^{2} -8x -11,
coincidindo com o que obtivemos — excelente confirmação.

Resposta

f'(x) = -60x^{4} -16x^{3} +84x^{2} -8x -11

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