Aplicando as regras básicas de diferenciação, determine a derivada de cada função.
f(x)=(−2x3+2x2+x−1)(6x2+8x−3)=
f(x)=(−2x3+2x2+x−1)(6x2+8x−3)=
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
. Informações relevantes: a função é o produto de duas funções polinomiais; queremos a derivada em termos de
.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz que, para duas funções
e
,
Aqui
e
são as derivadas de
e
. A ideia é derivar uma mantendo a outra e somar o contrário — é a fórmula padrão e muito útil em provas.
Passo 3
Escolho
e
Assim aplicarei a regra do produto com essas duas funções.
Passo 4
Fórmula básica que usarei para cada termo polinomial: regra da potência (power rule). Se
com
constante e
inteiro, então
Explico: multiplicamos o coeficiente
pelo expoente
e diminuímos o expoente em
. Isso vale para cada monômio em polinômios.
Passo 5
Calculando
termo a termo usando a regra da potência:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Logo
Passo 6
Calculando
termo a termo:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Logo
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Agora vou desenvolver ambas as multiplicações e simplificar.
Passo 8
Expandindo a primeira multiplicação
. Faço termo a termo:
Somando termos semelhantes:
Passo 9
Agora a segunda multiplicação
. Faço termo a termo:
Multiplicando por :
Multiplicando por
Multiplicando por
:
Somando:
Passo 10
Somando as duas expansões (Passos 8 e 9) para obter
:
Agora combino coeficientes termo a termo:
Portanto
Passo 11
Verificação rápida (opcional, boa prática): se eu primeiro expandir
e depois derivar, obtenho o mesmo resultado. Expandindo
dá
cuja derivada termo a termo é
coincidindo com o que obtivemos — excelente confirmação.