Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=2^{\cos x}-\left(\log _{5} \operatorname{tg} 3 x\right) \cdot\left(e^{3 x^{2}-5 x-7}\right)-\log e^{2 x}+2 e^{x^{4}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
y=2^{\cos x}-\left(\log_{5}\operatorname{tg}3x\right)\cdot\left(e^{3x^{2}-5x-7}\right)-\log e^{2x}+2e^{x^{4}-3x+2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma e diferença de quatro parcelas: 2^{\cos x}, -\big(\log_{5}\operatorname{tg}3x\big)\,e^{3x^{2}-5x-7}, -\log e^{2x} e 2e^{x^{4}-3x+2}.
  • Vou interpretar \operatorname{tg} como a tangente \tan e \log sem base explícita como o logaritmo natural (ou seja, \log=\ln). Não vou pedir mais informações; prossigo com essas interpretações.
  • Precisamos aplicar regra da cadeia, regra do produto e derivadas conhecidas de exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas para cada parcela.

Passo 2

Derivada da primeira parcela \;2^{\cos x}.
Aula rápida: derivada de uma exponencial de base fixa a^{u(x)} é
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x),
onde \ln a é o logaritmo natural de a e u'(x) é a derivada do expoente (regra da cadeia).
Aqui a=2 e u(x)=\cos x. Temos u'(x)=(\cos x)'=-\sin x. Portanto
\frac{d}{dx}\big(2^{\cos x}\big)=2^{\cos x}\ln 2\cdot(-\sin x)=-\sin x\ln 2\;2^{\cos x}.

Passo 3

Derivada da segunda parcela \; -\big(\log_{5}\tan 3x\big)\,e^{3x^{2}-5x-7}.
Aula rápida 1: regra do produto. Se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aula rápida 2: derivada de \log em base 5. Para g(x)=\log_{5}h(x),
g'(x)=\frac{h'(x)}{h(x)\ln 5},
porque \log_{5}h=\dfrac{\ln h}{\ln 5}.
Aula rápida 3: derivada de \tan. (\tan t)'=\operatorname{sec}^{2}t. Pela cadeia, (\tan(3x))'=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot 3.
Agora aplico tudo. Defina
u(x)=\log_{5}\tan 3x,\qquad v(x)=e^{3x^{2}-5x-7}.
Calculamos u'(x) usando aula 2 e 3:
u'(x)=\frac{(\tan 3x)'}{\tan 3x\ln 5}=\frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan 3x\ln 5}.
Calculamos v'(x) usando regra da cadeia para exponencial:
v'(x)=e^{3x^{2}-5x-7}\cdot(6x-5),
pois (3x^{2}-5x-7)'=6x-5.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo,
\frac{d}{dx}\Big(\big(\log_{5}\tan 3x\big)e^{3x^{2}-5x-7}\Big) =\frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan 3x\ln 5}\;e^{3x^{2}-5x-7} +\log_{5}\tan 3x\;e^{3x^{2}-5x-7}(6x-5).
Como a parcela no y aparece com sinal negativo, toda essa expressão recebe sinal negativo:
-\frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan 3x\ln 5}\;e^{3x^{2}-5x-7} -\log_{5}\tan 3x\;e^{3x^{2}-5x-7}(6x-5).
Podemos fatorar e^{3x^{2}-5x-7} se quiser:
-\,e^{3x^{2}-5x-7}\left(\frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan 3x\ln 5}+(6x-5)\log_{5}\tan 3x\right).

Passo 4

Derivada da terceira parcela \;-\log e^{2x}.
Aula rápida: \log(e^{u(x)})=u(x) porque \ln(e^{u})=u. Então \log e^{2x}=2x. Assim a derivada é simplesmente
\frac{d}{dx}\big(\log e^{2x}\big)=\frac{d}{dx}(2x)=2.
Como a parcela vem com sinal negativo em y, a contribuição à derivada é -2.

Passo 5

Derivada da quarta parcela \;2e^{x^{4}-3x+2}.
Aula rápida: para C\cdot e^{u(x)} temos (C\cdot e^{u(x)})'=C\cdot e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui C=2 e u(x)=x^{4}-3x+2. Calculamos u'(x)=4x^{3}-3. Portanto
\frac{d}{dx}\big(2e^{x^{4}-3x+2}\big)=2e^{x^{4}-3x+2}(4x^{3}-3).
Podemos expandir o fator 2(4x^{3}-3)=8x^{3}-6, logo
\frac{d}{dx}\big(2e^{x^{4}-3x+2}\big)=(8x^{3}-6)e^{x^{4}-3x+2}.

Passo 6

Juntando todas as contribuições (somando as derivadas das parcelas na mesma ordem do enunciado):
  • Derivada de 2^{\cos x}: -\sin x\ln 2\;2^{\cos x}.
  • Derivada da parcela produto (com sinal negativo): -\,e^{3x^{2}-5x-7}\left(\dfrac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan 3x\ln 5}+(6x-5)\log_{5}\tan 3x\right).
  • Derivada de -\log e^{2x}: -2.
  • Derivada de 2e^{x^{4}-3x+2}: (8x^{3}-6)e^{x^{4}-3x+2}.
Portanto a derivada final é a soma dessas expressões.

Resposta

y'=-\sin x\ln 2\;2^{\cos x}-e^{3x^{2}-5x-7}\left(\frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan 3x\ln 5}+(6x-5)\log_{5}\tan 3x\right)-2+(8x^{3}-6)e^{x^{4}-3x+2}.

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