Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é soma e diferença de quatro parcelas:
, , e . - Vou interpretar
como a tangente e sem base explícita como o logaritmo natural (ou seja, ). Não vou pedir mais informações; prossigo com essas interpretações. - Precisamos aplicar regra da cadeia, regra do produto e derivadas conhecidas de exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas para cada parcela.
Passo 2
Derivada da primeira parcela
.
Aula rápida: derivada de uma exponencial de base fixa
é
onde
é o logaritmo natural de
e
é a derivada do expoente (regra da cadeia).
Aqui
e
. Temos
. Portanto
Passo 3
Derivada da segunda parcela
.
Aula rápida 1: regra do produto. Se
, então
Aula rápida 2: derivada de
em base
. Para
,
porque
.
Aula rápida 3: derivada de
.
. Pela cadeia,
.
Agora aplico tudo. Defina
Calculamos
usando aula 2 e 3:
Calculamos
usando regra da cadeia para exponencial:
pois
.
Pela regra do produto,
Substituindo,
Como a parcela no
aparece com sinal negativo, toda essa expressão recebe sinal negativo:
Podemos fatorar
se quiser:
Passo 4
Derivada da terceira parcela
.
Aula rápida:
porque
. Então
. Assim a derivada é simplesmente
Como a parcela vem com sinal negativo em
, a contribuição à derivada é
.
Passo 5
Derivada da quarta parcela
.
Aula rápida: para
temos
.
Aqui
e
. Calculamos
. Portanto
Podemos expandir o fator
, logo
Passo 6
Juntando todas as contribuições (somando as derivadas das parcelas na mesma ordem do enunciado):
- Derivada de
: . - Derivada da parcela produto (com sinal negativo):
. - Derivada de
: . - Derivada de
: .
Portanto a derivada final é a soma dessas expressões.