Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:
(2+5 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (expandir) a expressão (2+5x)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão é o quadrado do binómio (2+5x).
  • Objetivo: escrever essa expressão como um polinômio em x (ou seja, sem parênteses, somando termos semelhantes).

Passo 2

Vamos usar a definição do quadrado de um binómio. Seja um binómio genérico (a+b). Então
(a+b)^{2}=(a+b)(a+b).
Usando a propriedade distributiva (multiplicar cada termo do primeiro parênteses por cada termo do segundo) obtemos a identidade dos produtos notáveis:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Explicação curta dessa identidade: ao multiplicar (a+b)(a+b) temos a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b. Os dois termos a\cdot b e b\cdot a são iguais, somam 2ab, e os outros são a^{2} e b^{2}.

Passo 3

Agora identificamos a e b na nossa expressão:
a=2,\qquad b=5x.

Passo 4

Substituímos na fórmula a^{2}+2ab+b^{2} e calculamos termo a termo.
Cálculo de a^{2}:
a^{2}=(2)^{2}=4.
Cálculo de 2ab:
2ab=2\cdot(2)\cdot(5x)=4\cdot(5x)=20x.
Cálculo de b^{2}: lembrar que (5x)^{2}=5^{2}\cdot x^{2} porque (\alpha\beta)^{2}=\alpha^{2}\beta^{2}.
b^{2}=(5x)^{2}=25x^{2}.

Passo 5

Somando os termos obtidos numa ordem decrescente das potências de x, temos:
25x^{2}+20x+4.

Resposta

25x^{2}+20x+4

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