Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:
\left(\frac{y}{2}+3\right)^{2}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: expandir a expressão \left(\dfrac{y}{2}+3\right)^{2}.
Informações dadas: a expressão contém a variável \,y e os termos \dfrac{y}{2} e 3. O objetivo é desenvolver esse quadrado usando produtos notáveis.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto notável): para quaisquer expressões a e b vale
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Explicando cada termo:
  • a^{2} é o quadrado do primeiro termo;
  • 2ab é duas vezes o produto do primeiro pelo segundo;
  • b^{2} é o quadrado do segundo termo.

Passo 3

Identificar a e b na expressão dada:
Tomamos
a = \frac{y}{2},\qquad b = 3.

Passo 4

Calcular a^{2}:
a^{2} = \left(\frac{y}{2}\right)^{2} = \frac{y^{2}}{4}.
Regra usada: \left(\dfrac{p}{q}\right)^{2}=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}; aqui p=y e q=2.

Passo 5

Calcular 2ab:
2ab = 2\cdot\frac{y}{2}\cdot 3.
Fazendo as multiplicaçõess e cancelando 2 com \dfrac{1}{2}:
2\cdot\frac{y}{2}\cdot 3 = \frac{2\cdot y\cdot 3}{2} = 3y.

Passo 6

Calcular b^{2}:
b^{2} = 3^{2} = 9.

Passo 7

Juntar os três termos segundo a fórmula:
\left(\frac{y}{2}+3\right)^{2} = \frac{y^{2}}{4} + 3y + 9.
Opcional — escrever em forma única (mesmo valor), se preferir uma fração comum:
\frac{y^{2}}{4} + 3y + 9 = \frac{y^{2} + 12y + 36}{4} = \frac{(y+6)^{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{y^{2}}{4}+3y+9

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