Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{x-a}{x+a}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \,f(x)=\frac{x-a}{x+a}\,.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x-a}{x+a}.
  • a é uma constante (não depende de x).
  • Devemos encontrar f'(x) (a derivada de f em relação a x).
  • O domínio natural da função requer x\neq -a (pois x+a não pode ser zero).

Passo 2

Vou simplificar a função antes de derivar — isso deixa a conta mais limpa e usa regras básicas. Começo manipulando a fração:
x-a=(x+a)-2a,
portanto
f(x)=\frac{x-a}{x+a}=\frac{(x+a)-2a}{x+a}=1-\frac{2a}{x+a}.
Explicando a ideia: somando e subtraindo a no numerador permite escrever a fração como 1 menos uma fração simples.

Passo 3

Agora lembro as regras de derivação que vou usar (explicadas passo a passo):
  • Derivada de uma constante C é 0: \dfrac{d}{dx}C=0.
  • Derivada da função identidade \,x\, é 1: \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Regra do múltiplo constante: se k é constante, \dfrac{d}{dx}\big(k\cdot g(x)\big)=k\cdot g'(x).
  • Regra da potência (para expoentes inteiros): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui usarei com n=-1 porque \dfrac{1}{x+a}=(x+a)^{-1}.
  • Regra da cadeia (quando há função composta): se h(x)=g(u(x)) então h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). No caso de (x+a)^{-1} a função externa é t^{-1} e a interna é t=x+a.

Passo 4

Derivo termo a termo a expressão f(x)=1-\dfrac{2a}{x+a}.
  1. Derivada de 1 é 0:
\frac{d}{dx}1=0.
  1. Para \dfrac{2a}{x+a} vejo que 2a é constante (pois a é constante). Escrevo a parte variável como (x+a)^{-1}. Então:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2a}{x+a}\right)=-2a\cdot\frac{d}{dx}\big((x+a)^{-1}\big).
Aplicando regra da potência com cadeia: para g(t)=t^{-1} tem-se g'(t)=-1\cdot t^{-2}. A derivada de t=x+a é 1. Logo
\frac{d}{dx}\big((x+a)^{-1}\big)=-1\cdot(x+a)^{-2}\cdot 1=-(x+a)^{-2}.
Substituindo:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2a}{x+a}\right)=-2a\cdot\big(- (x+a)^{-2}\big)=2a\,(x+a)^{-2}.
Escrevendo em forma de fração:
2a\,(x+a)^{-2}=\frac{2a}{(x+a)^{2}}.

Passo 5

Juntando os resultados:
f'(x)=0+\frac{2a}{(x+a)^{2}}=\frac{2a}{(x+a)^{2}},
válido para x\neq -a.
Checagem rápida (opcional, só para confirmação): aplicando a regra do quociente diretamente com u(x)=x-a e v(x)=x+a, u'=1, v'=1,
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{1\cdot(x+a)-(x-a)\cdot1}{(x+a)^{2}}=\frac{x+a-x+a}{(x+a)^{2}}=\frac{2a}{(x+a)^{2}},
o mesmo resultado — boa confirmação.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2a}{(x+a)^{2}}

Exercícios relacionados