Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. -
é uma constante (não depende de ). - Devemos encontrar
(a derivada de em relação a ). - O domínio natural da função requer
(pois não pode ser zero).
Passo 2
Vou simplificar a função antes de derivar — isso deixa a conta mais limpa e usa regras básicas. Começo manipulando a fração:
portanto
Explicando a ideia: somando e subtraindo
no numerador permite escrever a fração como
menos uma fração simples.
Passo 3
Agora lembro as regras de derivação que vou usar (explicadas passo a passo):
- Derivada de uma constante
é : . - Derivada da função identidade
é : . - Regra do múltiplo constante: se
é constante, . - Regra da potência (para expoentes inteiros):
. Aqui usarei com porque . - Regra da cadeia (quando há função composta): se
então . No caso de a função externa é e a interna é .
Passo 4
Derivo termo a termo a expressão
.
- Derivada de
é :
- Para
vejo que é constante (pois é constante). Escrevo a parte variável como . Então:
Aplicando regra da potência com cadeia: para
tem-se
. A derivada de
é
. Logo
Substituindo:
Escrevendo em forma de fração:
Passo 5
Juntando os resultados:
válido para
.
Checagem rápida (opcional, só para confirmação): aplicando a regra do quociente diretamente com
e
,
,
,
o mesmo resultado — boa confirmação.