QUESTÃO 2: Método do Ponto Fixo. Este método também é consequência do Teorema do Valor Intermediário e tem uma aplicação mais simples que o método da bissecção, embora isso não queira dizer mais eficiente, pois este último método depende da escolha da função de iteração. A equação de iteração é obtida a partir da equação f(x)=0 reescrevendo-a na forma x=\varphi(x). Observe que, dada a equação f(x)=0, existem várias maneiras de se obter \varphi tal que x=\varphi(x). No entanto, deve-se escolher uma função \varphi com derivada limitada \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<1 para x numa vizinhança da raiz r. Isso decorre em consequência do Teorema do Valor Médio.
  1. Usando o método do ponto fixo, encontre uma função de iteração \varphi(x) para a mesma equação x^{3}-x^{2}-1=0 da Questão 1 , de forma que \varphi(x) seja tal que \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<1 para todo x num intervalo aberto que contenha r. Você pode usar a regra da cadeia para concluir isso.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função de iteração \varphi(x) para a equação
x^{3}-x^{2}-1=0
de modo que exista um intervalo aberto contendo a raiz r onde vale |\varphi'(x)|<1. Em outras palavras, queremos reescrever a equação na forma x=\varphi(x) e escolher \varphi de forma que a derivada de \varphi tenha magnitude estritamente menor que 1 numa vizinhança da raiz.
Informações relevantes que temos (obtidas avaliando f(x)=x^{3}-x^{2}-1):
  • f(1)=1-1-1=-1<0.
  • f(2)=8-4-1=3>0.
    Logo existe uma raiz real r em (1,2). Não precisamos do valor exato de r para escolher \varphi, apenas que r>1.

Passo 2

Escolha da função de iteração. Partimos de
x^{3}-x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=x^{2}+1.
Tomando a raiz cúbica em ambos os lados obtemos a reescrita natural
x=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}.
Definimos, portanto,
\varphi(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}.
Motivo da escolha (intuição): essa \varphi mantém a relação exata de ponto fixo (se x satisfaz f(x)=0 então x=\varphi(x)) e costuma produzir derivada pequena porque a operação de elevar a potência 1/3 “suaviza” a variação.

Passo 3

Cálculo da derivada \varphi'(x) usando a regra da cadeia e a regra do potência, passo a passo.
Escrevemos \varphi(x)=(u(x))^{1/3} com u(x)=x^{2}+1. Pela regra da cadeia:
\varphi'(x)=\frac{1}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-2/3}\cdot u'(x).
Como u'(x)=2x, segue
\varphi'(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-2/3}\cdot 2x
ou mais simplesmente
\varphi'(x)=\frac{2x}{3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2/3}}.

Passo 4

Mostrar que existe um intervalo aberto contendo r onde |\varphi'(x)|<1.
Observação: a raiz r está em (1,2), portanto podemos escolher um intervalo aberto como I=(1,2) que contém r. Para x\in I temos x>0, então |x|=x e todas as expressões abaixo são positivas.
Usamos a desigualdade elementar x^{2}+1\ge x^{2} (válida para todo x), que ao elevar ambos os lados à potência 2/3 (função monótona crescente) dá
\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2/3}\ge\bigl(x^{2}\bigr)^{2/3}=x^{4/3}.
Assim, para x>0,
\bigl|\varphi'(x)\bigr|=\frac{2x}{3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2/3}} \le\frac{2x}{3 x^{4/3}}=\frac{2}{3 x^{1/3}}.
Para todo x\in I=(1,2) temos x^{1/3}>1, logo
\bigl|\varphi'(x)\bigr|\le\frac{2}{3 x^{1/3}}<\frac{2}{3}<1.
Portanto |\varphi'(x)|<1 para todo x\in(1,2), e esse intervalo contém a raiz r. (Como checagem numérica, no ponto fixo r vale \varphi'(r)=\dfrac{2}{3r}\approx\dfrac{2}{3\cdot 1{,}465}\approx 0{,}455<1.)

Passo 5

Conclusão e comentário prático: a função \varphi(x)=(x^{2}+1)^{1/3} é uma escolha válida para iteração do ponto fixo para a equação dada, pois (i) satisfação do ponto fixo: se f(x)=0 então x=\varphi(x); e (ii) existe um intervalo aberto I=(1,2) que contém a raiz r onde |\varphi'(x)|<1. Pelo Teorema do Ponto Fixo (contrativa local) isso garante convergência local da iteração x_{n+1}=\varphi(x_n) para r quando a estimativa inicial estiver suficientemente próxima de r.

Resposta

\displaystyle \varphi(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}, que satisfaz \bigl|\varphi'(x)\bigr|=\dfrac{2x}{3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2/3}}<1 para todo x\in(1,2) (intervalo aberto que contém a raiz r).

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