O método da bissecção baseia-se no Teorema do Valor Intermediário, o qual garante a existência de uma solução para f(x)=0 no intervalo (a, b) desde que a função f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} seja contínua e satisfaça f(a) \cdot f(b)<0. Se o intervalo [a, b] tem essa propriedade, então deve-se encontrar o ponto médio m=\frac{a+b}{2} e então verificar em qual intervalo (a, m) ou (m, b) temos mudança de sinal. E assim sucessivamente continua-se o processo, tomando o ponto médio do subintervalo anterior para o qual houve a mudança no sinal de f.
  1. Utilizando o Teorema do Valor Intermediário, encontre um intervalo fechado [a, b] que contenha a raiz real r de x^{3}-x^{2}-1=0.

Passo 1

O enunciado pede que, usando o Teorema do Valor Intermediário, eu encontre um intervalo fechado [a,b] que contenha a raiz real r da equação x^{3}-x^{2}-1=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função cuja raiz queremos é f(x)=x^{3}-x^{2}-1.
  • O Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos uma raiz em (a,b) se f for contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0.
    Nada mais é fornecido, então precisamos encontrar valores a e b que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Primeiro, verificar a continuidade de f.
Todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Isso porque as funções x\mapsto x^n são contínuas e somas e subtrações de funções contínuas permanecem contínuas. Portanto
f(x)=x^{3}-x^{2}-1
é contínua em todo \mathbb{R}. Assim podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo fechado [a,b].

Passo 3

Agora, escolhemos candidatos simples para a e b (inteiros próximos) e calculamos f neles, procurando mudança de sinal.
Calcule f(1):
f(1)=1^{3}-1^{2}-1=1-1-1=-1.
Portanto f(1)=-1<0.

Passo 4

Calcule f(2):
f(2)=2^{3}-2^{2}-1=8-4-1=3.
Portanto f(2)=3>0.

Passo 5

Como f(1)=-1 e f(2)=3, temos
f(1)\cdot f(2)=(-1)\cdot 3=-3<0.
Pela continuidade de f e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz r de f(x)=0 no intervalo aberto (1,2). Portanto o intervalo fechado [1,2] contém essa raiz.

Resposta

[1,2]

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