Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{3}{5} x^{15}

Passo 1

O enunciado pede: derivar a função f(x)=\dfrac{3}{5}x^{15}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{3}{5}x^{15}.
  • Deve-se encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas do jeitinho que a prova gosta):
Regra do múltiplo constante:
\text{Se }F(x)=c\cdot G(x)\text{, onde }c\text{ é uma constante, então }F'(x)=c\cdot G'(x).éã
Aqui c é um número que não depende de x (por exemplo \dfrac{3}{5}) e G(x) é uma função de x.
Regra da potência (power rule):
\text{Se }G(x)=x^{n}\text{ com }n\text{ real, então }G'(x)=n\,x^{n-1}.ã
Ou seja, para derivar x^{n} baixa-se o expoente multiplicando e diminui-se 1 no expoente. Exemplo rápido: a derivada de x^{3} é 3x^{2}.

Passo 3

Identificar as partes da função dada conforme as regras:
  • A constante multiplicativa é c=\dfrac{3}{5}.
  • A função em potência é G(x)=x^{15}.
Aplicando a regra da potência a G(x):
G'(x)=\bigl(x^{15}\bigr)'=15\,x^{14}.
Expliquei: peguei o expoente 15, multipliquei pela função x^{15} e reduzi o expoente em 1, resultando em 15x^{14}.

Passo 4

Agora aplico a regra do múltiplo constante:
f'(x)=\dfrac{3}{5}\cdot G'(x)=\dfrac{3}{5}\cdot\bigl(15\,x^{14}\bigr).
Ou seja, mantenho a constante \dfrac{3}{5} e multiplico pelo que já calculei para G'(x).

Passo 5

Simplificação aritmética (sem calculadora, passo a passo):
\dfrac{3}{5}\cdot 15 = \dfrac{3\cdot 15}{5} = \dfrac{45}{5}.
Dividindo 45 por 5 9. Então
f'(x)=9\,x^{14}.
Outra forma mental rápida: divida 15 por 5 = 3, depois 3\cdot 3=9.

Passo 6

Pequena verificação por valor: se quiser checar num ponto, por exemplo x=1,
f(x)=\dfrac{3}{5}\cdot 1^{15}=\dfrac{3}{5}, \qquad f'(1)=9\cdot 1^{14}=9,
ou seja a derivada em 1 é 9, faz sentido como número. Isso é só um teste rápido pra ganhar confiança.

Resposta

9x^{14}

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