Aplicando-se a segunda lei de Kirchoff em um circuito RC obtém- se
Determine
e faça a análise quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação obtida pela segunda lei de Kirchhoff para um circuito RC:
O que o exercício pede:
- Determinar
a partir dessa equação. - Fazer a análise do comportamento de
quando .
Informações relevantes fornecidas (e hipóteses que vou usar porque não foram dadas explicitamente):
-
é a resistência (constante positiva). -
é a capacitância (constante positiva). -
é a tensão aplicada ao circuito (função do tempo, arbitrária). - A corrente e a carga estão relacionadas por
. - Vou considerar uma condição inicial genérica
(se o enunciado não dá , é comum apresentar a solução em função de ).
Passo 2
Transformar a equação dada numa equação diferencial padrão usando
.
A equação dada é
Como
, substituo para obter
Dividindo por
para ficar na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui:
-
é a taxa de variação da carga (a corrente), -
é um coeficiente constante com dimensão de 1/tempo, -
é a “forçante” externa.
É útil definir a constante de tempo do circuito:
A interpretação física:
tem dimensão de tempo e quantifica a rapidez com que o capacitor carrega/descarga. Tipicamente, depois de alguns
(por exemplo
a
) a solução transiente já está praticamente esgotada.
Passo 3
Resolver a equação linear de primeira ordem por fator integrante. A equação está em
com
.
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata no lado esquerdo:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, isto é:
Passo 4
Integrar a identidade encontrada entre
e
(usando a condição inicial
):
Como
, temos
Isolando
obtemos a solução geral (forma convolucional):
Essa é a expressão explícita para
em termos de
e da condição inicial
. Em linguagem de sinais: primeiro termo = resposta natural (transiente) que decai exponencialmente; segundo termo = resposta forçada (particular) construída pela convolução de
com o núcleo exponencial.
Passo 5
Fazer a análise do comportamento quando
.
- Caso comum: tensão aplicada constante
(por exemplo, uma fonte de tensão que foi ligada em ).
Calculo o integral explícito:
Substituindo na solução:
Como
,
. Simplificando:
Daqui fica claro que, quando
,
Interpretação física: o capacitor atinge a carga correspondente à tensão da fonte multiplicada por
, e o termo exponencial é o transiente que some com o tempo constante
.
- Caso mais geral: se
tende a um valor limite finito quando e for razoavelmente bem-comportada (por exemplo, limitada e sem oscilações de amplitude crescente), a contribuição do integral conduz a
Rascunho do porquê: o termo multiplicado por
decai; a parte particular tende ao estado estacionário correspondente à solução da equação algébrica obtida ao anular a derivada, isto é
.
- Se
não tem limite (por exemplo é oscilatória), o limite de depende do comportamento de ; em muitos casos práticos com periódica e média zero, pode ficar oscilando em regime forçado. Mas o termo transiente ainda decairá como .
Passo 6
Resumo prático e dica para prova (o que usar na hora da prova):
- Transforme
em e escreva a ODE. - Use fator integrante
com . - A solução geral com condição inicial
é
- Para
constante, aplique o integral e obtenha
logo
quando
.
- Interprete
como tempo que mede a rapidez do decaimento do transiente (após alguns o transiente é desprezível).