Aplicando-se a segunda lei de Kirchoff em um circuito RC obtém- se
R I(t)+\frac{\mathrm{Q}(\mathrm{t})}{C}=V(t)
Determine Q(t) e faça a análise quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação obtida pela segunda lei de Kirchhoff para um circuito RC:
R I(t) + \frac{Q(t)}{C} = V(t).
O que o exercício pede:
  • Determinar Q(t) a partir dessa equação.
  • Fazer a análise do comportamento de Q(t) quando t\rightarrow\infty.
Informações relevantes fornecidas (e hipóteses que vou usar porque não foram dadas explicitamente):
  • R é a resistência (constante positiva).
  • C é a capacitância (constante positiva).
  • V(t) é a tensão aplicada ao circuito (função do tempo, arbitrária).
  • A corrente e a carga estão relacionadas por I(t)=\dfrac{dQ}{dt}.
  • Vou considerar uma condição inicial genérica \;Q(0)=Q_0\; (se o enunciado não dá Q_0, é comum apresentar a solução em função de Q_0).

Passo 2

Transformar a equação dada numa equação diferencial padrão usando I(t)=\dfrac{dQ}{dt}.
A equação dada é
R I(t) + \frac{Q(t)}{C} = V(t).
Como I(t)=\dfrac{dQ}{dt}, substituo para obter
R \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{C} Q(t) = V(t).
Dividindo por R para ficar na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\,Q(t) = \frac{V(t)}{R}.
Aqui:
  • \dfrac{dQ}{dt} é a taxa de variação da carga (a corrente),
  • \dfrac{1}{RC} é um coeficiente constante com dimensão de 1/tempo,
  • \dfrac{V(t)}{R} é a “forçante” externa.
É útil definir a constante de tempo do circuito:
\tau \equiv RC.
A interpretação física: \tau tem dimensão de tempo e quantifica a rapidez com que o capacitor carrega/descarga. Tipicamente, depois de alguns \tau (por exemplo 3\tau a 5\tau) a solução transiente já está praticamente esgotada.

Passo 3

Resolver a equação linear de primeira ordem por fator integrante. A equação está em
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{\tau} Q(t) = \frac{V(t)}{R},
com \tau=RC.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{\tau}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right).
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos uma derivada exata no lado esquerdo:
\exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right)\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{\tau}\exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right)Q(t) = \exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right)\frac{V(t)}{R}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \exp\!\left(\tfrac{t}{\tau}\right)Q(t), isto é:
\frac{d}{dt}\left[ \exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right) Q(t) \right] = \exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right)\frac{V(t)}{R}.

Passo 4

Integrar a identidade encontrada entre 0 e t (usando a condição inicial Q(0)=Q_0):
\exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right) Q(t) - \exp\!\left(\frac{0}{\tau}\right) Q(0) = \int_{0}^{t} \exp\!\left(\frac{s}{\tau}\right)\frac{V(s)}{R}\,ds.
Como \exp(0)=1, temos
\exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right) Q(t) = Q_0 + \frac{1}{R}\int_{0}^{t} \exp\!\left(\frac{s}{\tau}\right) V(s)\,ds.
Isolando Q(t) obtemos a solução geral (forma convolucional):
Q(t) = \exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right) Q_0 + \frac{1}{R}\,\exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right)\int_{0}^{t} \exp\!\left(\frac{s}{\tau}\right) V(s)\,ds.
Essa é a expressão explícita para Q(t) em termos de V(s) e da condição inicial Q_0. Em linguagem de sinais: primeiro termo = resposta natural (transiente) que decai exponencialmente; segundo termo = resposta forçada (particular) construída pela convolução de V com o núcleo exponencial.

Passo 5

Fazer a análise do comportamento quando t\rightarrow\infty.
  1. Caso comum: tensão aplicada constante V(t)=V_0 (por exemplo, uma fonte de tensão que foi ligada em t=0).
    Calculo o integral explícito:
\int_{0}^{t} \exp\!\left(\frac{s}{\tau}\right) V_0\,ds = V_0 \tau \left[\exp\!\left(\frac{t}{\tau}\right)-1\right].
Substituindo na solução:
Q(t) = e^{-t/\tau} Q_0 + \frac{1}{R} e^{-t/\tau} \cdot V_0 \tau \left(e^{t/\tau}-1\right).
Como \tau=RC, \dfrac{\tau}{R}=C. Simplificando:
Q(t) = C V_0 + (Q_0 - C V_0)\,e^{-t/\tau}.
Daqui fica claro que, quando t\rightarrow\infty,
Q(t)\longrightarrow C V_0.
Interpretação física: o capacitor atinge a carga correspondente à tensão da fonte multiplicada por C, e o termo exponencial é o transiente que some com o tempo constante \tau.
  1. Caso mais geral: se V(t) tende a um valor limite finito \;V(t)\to V_\infty quando t\to\infty e V(t) for razoavelmente bem-comportada (por exemplo, limitada e sem oscilações de amplitude crescente), a contribuição do integral conduz a
Q(t)\longrightarrow C\,V_\infty \quad\text{quando } t\to\infty.
Rascunho do porquê: o termo multiplicado por e^{-t/\tau} decai; a parte particular tende ao estado estacionário correspondente à solução da equação algébrica obtida ao anular a derivada, isto é \dfrac{Q}{C}=V_\infty \Rightarrow Q=C V_\infty.
  1. Se V(t) não tem limite (por exemplo é oscilatória), o limite de Q(t) depende do comportamento de V; em muitos casos práticos com V(t) periódica e média zero, Q(t) pode ficar oscilando em regime forçado. Mas o termo transiente ainda decairá como \exp(-t/\tau).

Passo 6

Resumo prático e dica para prova (o que usar na hora da prova):
  • Transforme I(t) em \dfrac{dQ}{dt} e escreva a ODE.
  • Use fator integrante \mu(t)=e^{t/\tau} com \tau=RC.
  • A solução geral com condição inicial Q(0)=Q_0 é
Q(t) = e^{-t/\tau} Q_0 + \frac{1}{R}\,e^{-t/\tau}\int_{0}^{t} e^{s/\tau} V(s)\,ds.
  • Para V(t)=V_0 constante, aplique o integral e obtenha
Q(t)=C V_0 + (Q_0 - C V_0)\,e^{-t/\tau},
logo Q(t)\to C V_0 quando t\to\infty.
  • Interprete \tau=RC como tempo que mede a rapidez do decaimento do transiente (após alguns \tau o transiente é desprezível).

Resposta

Q(t) = e^{-t/(RC)} Q_0 + \frac{1}{R}\,e^{-t/(RC)}\int_{0}^{t} e^{s/(RC)} V(s)\,ds
\text{Se }V(t)=V_0\text{ (constante), então }Q(t)=C V_0 + (Q_0 - C V_0)\,e^{-t/(RC)}\quad\text{e}\quad Q(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} C V_0ã
\text{Mais geral: se }V(t)\xrightarrow[t\to\infty]{}V_\infty\text{ então }Q(t)\xrightarrow[t\to\infty]{}C\,V_\infty.ã

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