Num problema de misturas, onde A(t) é a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t, encontrou-se
A(t)=600-550 e^{-t / 100}
Faça a análise para t \rightarrow \infty. O que significa o valor obtido no cálculo deste limite?

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve a quantidade de sal no tanque no instante t:
A(t)=600-550 e^{-t/100}.
As perguntas são:
  • Calcular o limite \displaystyle\lim_{t\to\infty}A(t).
  • Explicar o que esse valor significa no contexto do problema de misturas (ou seja, qual é a interpretação física do limite).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de A(t) depende de uma parte constante 600 e de um termo exponencial decrescente -550 e^{-t/100}.
  • O argumento do exponencial é -t/100, que tende a -\infty quando t\to\infty.

Passo 2

Entender o comportamento do termo exponencial \displaystyle e^{-t/100}.
Explicação didática: a função exponencial e^{x} cresce sem limite quando x\to\infty. Então, se tomarmos x=-u com u\to\infty, obtemos e^{-u}=\dfrac{1}{e^{u}}, que tende a 0 porque o denominador cresce sem limite. Aplicando isso ao nosso caso, defina a troca de variável
u=\frac{t}{100}.
Quando t\to\infty temos u\to\infty. Portanto
\lim_{t\to\infty} e^{-t/100}=\lim_{u\to\infty} e^{-u}=0.

Passo 3

Aplicar o resultado do Passo 2 para calcular o limite de A(t).
Como \displaystyle\lim_{t\to\infty} e^{-t/100}=0, temos que
\lim_{t\to\infty} A(t)=\lim_{t\to\infty}\left(600-550 e^{-t/100}\right)=600-550\cdot 0=600.

Passo 4

Interpretação matemática e física do resultado (aula rápida e concreta).
Matematicamente: o termo 550 e^{-t/100} é um termo transiente que tende a zero quando t cresce. Sobressai então a constante 600, que é o valor de equilíbrio (ou valor assintótico) da função.
Física do problema de misturas (explicação simples, sem pressupor conhecimento prévio):
  • Em problemas de mistura com entrada e saída contínuas, costuma ocorrer que a quantidade de soluto no tanque evolui segundo uma equação diferencial linear cujo termo exponencial representa a “resposta transitória” ao estado inicial.
  • O limite \,600 gramas é o valor que a quantidade de sal alcança quando o sistema atinge o equilíbrio a longo prazo — ou seja, quando as taxas de entrada e saída de sal se equilibram.
  • Para reforçar com números concretos: no instante inicial t=0 temos A(0)=600-550 e^{0}=600-550=50\\ \text{g},ou seja, o tanque começa com 50 g de sal e, ao longo do tempo, vai aumentando até chegar assintoticamente a 600 g.
  • Tempo característico: o expoente tem fator 1/100. Isso indica uma escala temporal (constante de tempo) igual a 100 (unidades de t). Depois de um tempo da ordem de 100, o termo exponencial já caiu para cerca de e^{-1}\approx0,37, e após 3\cdot100 ele está perto de e^{-3}\approx0,05, ou seja, a maior parte da aproximação ao equilíbrio já ocorreu em algumas constantes de tempo.

Resposta

\displaystyle\lim_{t\to\infty}A(t)=600\\ \text{g}
Significa que, à medida que t cresce indefinidamente, a quantidade de sal no tanque tende a 600 gramas — é o valor de equilíbrio assintótico (estado estacionário) do sistema.

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