Num problema de misturas, onde
é a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante
, encontrou-se
Faça a análise para
. O que significa o valor obtido no cálculo deste limite?
Passo 1
O enunciado dá a função que descreve a quantidade de sal no tanque no instante
:
As perguntas são:
- Calcular o limite
. - Explicar o que esse valor significa no contexto do problema de misturas (ou seja, qual é a interpretação física do limite).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
depende de uma parte constante e de um termo exponencial decrescente . - O argumento do exponencial é
, que tende a quando .
Passo 2
Entender o comportamento do termo exponencial
.
Explicação didática: a função exponencial
cresce sem limite quando
. Então, se tomarmos
com
, obtemos
, que tende a
porque o denominador cresce sem limite. Aplicando isso ao nosso caso, defina a troca de variável
Quando
temos
. Portanto
Passo 3
Aplicar o resultado do Passo 2 para calcular o limite de
.
Como
, temos que
Passo 4
Interpretação matemática e física do resultado (aula rápida e concreta).
Matematicamente: o termo
é um termo transiente que tende a zero quando
cresce. Sobressai então a constante
, que é o valor de equilíbrio (ou valor assintótico) da função.
Física do problema de misturas (explicação simples, sem pressupor conhecimento prévio):
- Em problemas de mistura com entrada e saída contínuas, costuma ocorrer que a quantidade de soluto no tanque evolui segundo uma equação diferencial linear cujo termo exponencial representa a “resposta transitória” ao estado inicial.
- O limite
gramas é o valor que a quantidade de sal alcança quando o sistema atinge o equilíbrio a longo prazo — ou seja, quando as taxas de entrada e saída de sal se equilibram. - Para reforçar com números concretos: no instante inicial
temos ou seja, o tanque começa com g de sal e, ao longo do tempo, vai aumentando até chegar assintoticamente a g. - Tempo característico: o expoente tem fator
. Isso indica uma escala temporal (constante de tempo) igual a (unidades de ). Depois de um tempo da ordem de , o termo exponencial já caiu para cerca de , e após ele está perto de , ou seja, a maior parte da aproximação ao equilíbrio já ocorreu em algumas constantes de tempo.
Resposta
Significa que, à medida que