Em uma cultura, há inicialmente N_{o} bactérias. Uma hora depois, t=1, um número de bactérias passa a ser \frac{5}{2} N_{o}. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias quadriplique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Inicialmente, no tempo t=0, há N_{0} bactérias.
    • Uma hora depois, no tempo t=1, o número de bactérias é \dfrac{5}{2}N_{0} (peguei este valor do enunciado).
    • A taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o tempo necessário para que o número de bactérias quadriplique, isto é, o tempo T tal que o número de bactérias seja 4N_{0}.

Passo 2

Modelagem e solução geral do problema (explicação didática do método).
Quando a taxa de crescimento é proporcional ao número presente, escrevemos a equação diferencial
\frac{dN}{dt}=kN,
onde:
  • N(t) é o número de bactérias no tempo t;
  • k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento), com unidades de \text{hora}^{-1} se t estiver em horas.
Essa equação significa: a variação instantânea de N por unidade de tempo é igual a k vezes o próprio N. Para resolver, usamos separação de variáveis:
\frac{dN}{N}=k\,dt.
Integramos ambos os lados entre condições iniciais (de N_0 em t=0 até N(t) em tempo t):
\int_{N_0}^{N(t)}\frac{dN'}{N'}=\int_{0}^{t}k\,dt'.
A integral do lado esquerdo é \ln N(t)-\ln N_0 e a do direito é k t. Assim:
\ln N(t)-\ln N_0 = k t.
Isolando N(t) obtemos a forma exponencial conhecida:
N(t)=N_0 e^{k t}.
Explicação intuitiva: crescimento proporcional leva a crescimento exponencial; k determina se cresce rápido ( k grande) ou devagar ( k pequeno).

Passo 3

Determinar a constante k usando a condição em t=1.
Pelo enunciado, em t=1 tem-se N(1)=\dfrac{5}{2}N_0. Substituindo na solução geral:
N(1)=N_0 e^{k\cdot 1}=N_0 e^{k}=\frac{5}{2}N_0.
Cancelando N_0 (não nulo) fica
e^{k}=\frac{5}{2}.
Tomando logaritmo natural:
k=\ln\!\left(\frac{5}{2}\right).
Valor numérico aproximado (útil para respostas decimais):
k\approx\ln(2,5)\approx0,9163\quad\text{(hora}^{-1}\text{)}.

Passo 4

Determinar o tempo T para que o número quadriplique.
Queremos N(T)=4N_0. Usando N(t)=N_0 e^{k t},
4N_0 = N_0 e^{k T}.
Cancelando N_0:
e^{k T}=4.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
k T = \ln 4.
Logo
T=\frac{\ln 4}{k}.

Passo 5

Substituir k=\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right) e calcular o valor numérico.
T=\frac{\ln 4}{\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)}.
Agora valores aproximados:
\ln 4\approx1,386294\quad\text{e}\quad \ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)\approx0,916291,
portanto
T\approx\frac{1,386294}{0,916291}\approx1,513.
Unidade: T está em horas (porque usamos t em horas).
Interpretação curta: leva cerca de 1,513 horas para o número de bactérias ficar quatro vezes o inicial, dado que em 1 hora já ficou 2{,}5 vezes.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumindo o método que normalmente aparece em exercícios assim):
  • Escreva sempre a equação dN/dt=kN.
  • Resolva por separação de variáveis para obter N(t)=N_0 e^{k t}.
  • Use qualquer condição dada para achar k.
  • Depois imponha a condição de multiplicação (aqui 4N_0) e resolva para t.
    Força aí — você já sabe o passo a passo para exercícios do mesmo tipo!

Resposta

T=\frac{\ln 4}{\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)}\approx1,513\\ \text{horas}

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