Em uma cultura, há inicialmente
bactérias. Uma hora depois,
, um número de bactérias passa a ser
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias quadriplique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Inicialmente, no tempo
, há bactérias. - Uma hora depois, no tempo
, o número de bactérias é (peguei este valor do enunciado). - A taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes.
- Inicialmente, no tempo
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo necessário para que o número de bactérias quadriplique, isto é, o tempo
tal que o número de bactérias seja .
- Determinar o tempo necessário para que o número de bactérias quadriplique, isto é, o tempo
Passo 2
Modelagem e solução geral do problema (explicação didática do método).
Quando a taxa de crescimento é proporcional ao número presente, escrevemos a equação diferencial
onde:
-
é o número de bactérias no tempo ; -
é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento), com unidades de se estiver em horas.
Essa equação significa: a variação instantânea de
por unidade de tempo é igual a
vezes o próprio
. Para resolver, usamos separação de variáveis:
Integramos ambos os lados entre condições iniciais (de
em
até
em tempo
):
A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
. Assim:
Isolando
obtemos a forma exponencial conhecida:
Explicação intuitiva: crescimento proporcional leva a crescimento exponencial;
determina se cresce rápido (
grande) ou devagar (
pequeno).
Passo 3
Determinar a constante
usando a condição em
.
Pelo enunciado, em
tem-se
. Substituindo na solução geral:
Cancelando
(não nulo) fica
Tomando logaritmo natural:
Valor numérico aproximado (útil para respostas decimais):
Passo 4
Determinar o tempo
para que o número quadriplique.
Queremos
. Usando
,
Cancelando
:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Passo 5
Substituir
e calcular o valor numérico.
Agora valores aproximados:
portanto
Unidade:
está em horas (porque usamos
em horas).
Interpretação curta: leva cerca de
horas para o número de bactérias ficar quatro vezes o inicial, dado que em 1 hora já ficou
vezes.
Passo 6
Dica rápida para a prova (resumindo o método que normalmente aparece em exercícios assim):
- Escreva sempre a equação
. - Resolva por separação de variáveis para obter
. - Use qualquer condição dada para achar
. - Depois imponha a condição de multiplicação (aqui
) e resolva para .
Força aí — você já sabe o passo a passo para exercícios do mesmo tipo!