Considere a curva
dada por (3,0 pontos)
Encontre as equações para os planos normal, retificante e osculador para a curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede as equações dos três planos no ponto
: o plano normal, o plano retificante e o plano osculador.
Vou listar o que preciso obter a partir daqui:
Vou listar o que preciso obter a partir daqui:
- as coordenadas do ponto
; - os vetores
e ; - a base de Frenet naquele ponto: a tangente unitária
, a normal principal e o binormal ; - então escrever as equações dos planos usando esses vetores (cada plano é determinado por um ponto e um vetor normal).
Passo 2
Calcular
e
(derivando componente a componente) e avaliar em
.
Derivadas:
Avaliação em
. Como
e
, obtemos
Passo 3
Encontrar a tangente unitária
em
.
Fórmula: a tangente unitária é
. Primeiro o comprimento de
:
Logo
Explicação curta:
dá a direção do movimento da curva e é sempre um vetor unitário apontando em direção a
.
Passo 4
Encontrar a normal principal
em
.
Teoria prática:
é a direção de
(ou a direção da componente de
ortogonal a
). Podemos verificar se
já é ortogonal a
fazendo o produto escalar:
Como o produto escalar é zero,
é perpendicular a
. Portanto
tem a mesma direção de
. Normalizando:
Interpretação simples: a curva está curvando na direção do eixo
naquele ponto, por isso
aponta para
.
Passo 5
Encontrar o binormal
em
.
Definição:
. Fazendo o produto vetorial:
Calcule o produto:
Portanto, normalizando (a normalização não é necessária para usar como normal de plano, mas apresento a forma unitária):
Comentário:
é ortogonal tanto a
quanto a
e orienta o triângulo de Frenet.
Passo 6
Identificar qual vetor é normal a cada plano e escrever a fórmula geral da equação do plano.
Regras (uso prático):
- O plano osculador é o plano gerado por
e . Logo seu vetor normal é . - O plano normal é perpendicular a
; logo seu vetor normal é . - O plano retificante (plano retificador) é o plano gerado por
e . Logo seu vetor normal é .
Equação de um plano com ponto
e vetor normal
:
. Aqui o ponto é
.
Passo 7
Escrever explicitamente as equações dos três planos usando os vetores encontrados.
Plano osculador: vetor normal
. Podemos usar o vetor
(multiplicar por constante não altera o plano). Assim
ou seja
Simplificando,
Plano normal: vetor normal
. Então
ou seja
Simplificando,
Plano retificante: vetor normal
. Então
ou seja
ou simplesmente
Resposta
Plano osculador:
Plano normal:
Plano retificante: