Considere a curva \alpha: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} dada por (3,0 pontos)
\alpha(t)=(2 \operatorname{sen} 3 t, t, 2 \cos 3 t)
Encontre as equações para os planos normal, retificante e osculador para a curva \alpha(t) no ponto t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\alpha(t)=\bigl(2\sin 3t,\; t,\; 2\cos 3t\bigr)
e pede as equações dos três planos no ponto t=\pi: o plano normal, o plano retificante e o plano osculador.
Vou listar o que preciso obter a partir daqui:
  • as coordenadas do ponto \alpha(\pi);
  • os vetores \alpha'(\pi) e \alpha''(\pi);
  • a base de Frenet naquele ponto: a tangente unitária T, a normal principal N e o binormal B;
  • então escrever as equações dos planos usando esses vetores (cada plano é determinado por um ponto e um vetor normal).

Passo 2

Calcular \alpha' (t) e \alpha''(t) (derivando componente a componente) e avaliar em t=\pi.
Derivadas:
\alpha'(t)=\bigl(6\cos 3t,\;1,\;-6\sin 3t\bigr), \qquad \alpha''(t)=\bigl(-18\sin 3t,\;0,\;-18\cos 3t\bigr).
Avaliação em t=\pi. Como \sin 3\pi=0 e \cos 3\pi=\cos\pi=-1, obtemos
\alpha(\pi)=\bigl(0,\;\pi,\;-2\bigr),
\alpha'(\pi)=\bigl(-6,\;1,\;0\bigr),
\alpha''(\pi)=\bigl(0,\;0,\;18\bigr).

Passo 3

Encontrar a tangente unitária T em t=\pi.
Fórmula: a tangente unitária é T=\dfrac{\alpha'}{\|\alpha'\|}. Primeiro o comprimento de \alpha'(\pi):
\|\alpha'(\pi)\|=\sqrt{(-6)^2+1^2+0^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}.
Logo
T(\pi)=\frac{\alpha'(\pi)}{\|\alpha'(\pi)\|}=\frac{1}{\sqrt{37}}\bigl(-6,\;1,\;0\bigr).
Explicação curta: T dá a direção do movimento da curva e é sempre um vetor unitário apontando em direção a \alpha'(t).

Passo 4

Encontrar a normal principal N em t=\pi.
Teoria prática: N é a direção de T' (ou a direção da componente de \alpha'' ortogonal a T). Podemos verificar se \alpha''(\pi) já é ortogonal a T(\pi) fazendo o produto escalar:
\alpha''(\pi)\cdot T(\pi) = (0,0,18)\cdot\frac{1}{\sqrt{37}}(-6,1,0) = \frac{1}{\sqrt{37}}(0+0+0)=0.
Como o produto escalar é zero, \alpha''(\pi) é perpendicular a T(\pi). Portanto N tem a mesma direção de \alpha''(\pi). Normalizando:
\|\alpha''(\pi)\|=\sqrt{0^2+0^2+18^2}=18,
N(\pi)=\frac{\alpha''(\pi)}{\|\alpha''(\pi)\|}=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).
Interpretação simples: a curva está curvando na direção do eixo z naquele ponto, por isso N aponta para +z.

Passo 5

Encontrar o binormal B em t=\pi.
Definição: B=T\times N. Fazendo o produto vetorial:
B(\pi)=T(\pi)\times N(\pi) =\frac{1}{\sqrt{37}}(-6,1,0)\times(0,0,1).
Calcule o produto:
(-6,1,0)\times(0,0,1)=(1\cdot1-0\cdot0,\;0\cdot0-(-6)\cdot1,\;-6\cdot0-1\cdot0)=(1,6,0).
Portanto, normalizando (a normalização não é necessária para usar como normal de plano, mas apresento a forma unitária):
B(\pi)=\frac{1}{\sqrt{37}}(1,\;6,\;0).
Comentário: B é ortogonal tanto a T quanto a N e orienta o triângulo de Frenet.

Passo 6

Identificar qual vetor é normal a cada plano e escrever a fórmula geral da equação do plano.
Regras (uso prático):
  • O plano osculador é o plano gerado por T e N. Logo seu vetor normal é B.
  • O plano normal é perpendicular a T; logo seu vetor normal é T.
  • O plano retificante (plano retificador) é o plano gerado por T e B. Logo seu vetor normal é N.
Equação de um plano com ponto P_0 e vetor normal n: n\cdot (x-P_0)=0. Aqui o ponto é \alpha(\pi)=(0,\pi,-2).

Passo 7

Escrever explicitamente as equações dos três planos usando os vetores encontrados.
Plano osculador: vetor normal B(\pi). Podemos usar o vetor (1,6,0) (multiplicar por constante não altera o plano). Assim
(1,6,0)\cdot\bigl(x-0,\;y-\pi,\;z+2\bigr)=0,
ou seja
x+6(y-\pi)=0.
Simplificando,
x+6y-6\pi=0.
Plano normal: vetor normal T(\pi)=(-6,1,0). Então
(-6,1,0)\cdot\bigl(x-0,\;y-\pi,\;z+2\bigr)=0,
ou seja
-6x+(y-\pi)=0.
Simplificando,
-6x+y-\pi=0.
Plano retificante: vetor normal N(\pi)=(0,0,1). Então
(0,0,1)\cdot\bigl(x-0,\;y-\pi,\;z+2\bigr)=0,
ou seja
z+2=0,
ou simplesmente
z=-2.

Resposta

Plano osculador: x+6y-6\pi=0
Plano normal: -6x+y-\pi=0
Plano retificante: z=-2

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