Aplicando o Teorema de Green calcular a integral de linha
ointlambda F cdot d lambda,
sendo F(x, y)=(x+2 y, 3 x-y) e lambda o caminho que percorre os lados do triângulo de vértices (1,1),(3,0) e (3,2) no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada ointlambdaFcdot dlambda para o campo F(x,y)=(x+2y,3x-y) ao longo do triângulo com vértices (1,1),(3,0),(3,2) no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais duplas sobre a região interna.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para F=(P,Q), temos
ointlambdaFcdot dlambda=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
onde D é a região interna ao caminho fechado.

Passo 3

Aqui calculamos as derivadas parciais de P(x,y)=x+2y e Q(x,y)=3x-y:
partial Qpartial x=3, partial Ppartial y=2
Logo o integrando do duplo integral é
partial Qpartial x-partial Ppartial y=3-2=1

Passo 4

A integral integral duplaD1,dA é simplesmente a área da região D. No nosso caso, D é o triângulo com vértices A=(1,1), B=(3,0) e C=(3,2).

Passo 5

Para calcular a área usamos a fórmula via determinante:
área=tfrac12l|detB-A & C-Ar| =tfrac12l|det2 & -12 & 1r| =tfrac12l|2cdot1-(-1)cdot2r| =tfrac12times4 =2 á

Resposta

2

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