Aplicando o Teorema de Green calcular a integral de linha
sendo
e
o caminho que percorre os lados do triângulo de vértices
e
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
para o campo
ao longo do triângulo com vértices
no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais duplas sobre a região interna.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para
, temos
onde
é a região interna ao caminho fechado.
Passo 3
Aqui calculamos as derivadas parciais de
e
:
Logo o integrando do duplo integral é
Passo 4
A integral
é simplesmente a área da região
. No nosso caso,
é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 5
Para calcular a área usamos a fórmula via determinante:
Resposta
2