Sabe-se que uma função derivável e que admite pelo menos uma raiz. Também se sabe que f(0)=-1, f(1)=-2, f^prime(x)>0 para x in]-infty, 0], f^prime(x)<0 para x in] 0,1[ e que f^prime(x)>0 para x in[1,+infty[. Onde podemos afirmar que está essa alguma raiz de f ?
Em]-infty, 0[ Em ] 1,+infty[ As outras alternativas estão incorretas Em ]0, 1[

Passo 1

Então, temos uma função que é derivável e que tem pelo menos uma raiz, ou seja, um ponto onde ela cruza o eixo x. Sabemos que:
  • $ f(0) = -1 $
  • $ f(1) = -2 $
  • A derivada $ f’(x) > 0 $ quando $ x \leq 0 $
  • A derivada $ f’(x) < 0 $ quando $ 0 < x < 1 $
  • A derivada $ f’(x) > 0 $ quando $ x \geq 1 $
Queremos descobrir em qual intervalo a raiz dessa função está localizada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e comportamento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que os valores de $ f(0) $ e $ f(1) $ nos dizem. Sabemos que $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = -2 $, ou seja, a função tem valores negativos nesses pontos. Para encontrar uma raiz, precisamos que a função mude de sinal, ou seja, passar de negativo para positivo ou vice-versa.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo dado pelas derivadas:
  • Para $ x \leq 0 $, $ f’(x) > 0 $: isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para $ 0 < x < 1 $, $ f’(x) < 0 $: aqui, a função está decrescendo.
  • Para $ x \geq 1 $, $ f’(x) > 0 $: novamente, a função está crescendo.

Passo 4

Como a função está aumentando antes e depois do intervalo $ (0, 1) $ e diminuindo dentro desse intervalo, precisamos verificar onde ela pode cruzar o eixo x. Sabemos que em $ x = 0 $, $ f(0) = -1 $, e em $ x = 1 $, $ f(1) = -2 $. A função está descendo de $ x = 0 $ para $ x = 1 $.

Passo 5

Para ter uma raiz, a função deve mudar de sinal. Mas como $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = -2 $, ambos negativos, não há mudança de sinal nesse intervalo. Portanto, não há raiz em $ (0, 1) $.

Passo 6

Agora, vamos olhar para os outros intervalos:
  • Em $ ]-\infty, 0[ $: a função está crescendo e chega a $ f(0) = -1 $. Se considerarmos que, conforme $ x $ tende a $ -\infty $, a função pode tender a um valor positivo ou negativo, mas como não temos essa informação, assumimos que há possibilidade de cruzar o eixo x nesse intervalo.
  • Em $ ]1, +\infty[ $: a função está crescendo a partir de $ x = 1 $ onde $ f(1) = -2 $. É possível que a função atinja zero nesse intervalo se continuar crescendo.

Passo 7

Como sabemos que a função tem pelo menos uma raiz e não há mudança de sinal em $ (0, 1) $, a raiz deve estar em outro lugar. Observando os intervalos restantes, a raiz pode estar tanto em $ ]-\infty, 0[ $ quanto em $ ]1, +\infty[ $.

Resposta

A raiz da função está em $ ]-\infty, 0[ $ ou em $ ]1, +\infty[ $.

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