Sabe-se que uma função derivável e que admite pelo menos uma raiz. Também se sabe que
para
para
e que
para
. Onde podemos afirmar que está essa alguma raiz de
?
Em
As outras alternativas estão incorretas Em ]0,
Passo 1
Então, temos uma função que é derivável e que tem pelo menos uma raiz, ou seja, um ponto onde ela cruza o eixo x. Sabemos que:
- $ f(0) = -1 $
- $ f(1) = -2 $
- A derivada $ f’(x) > 0 $ quando $ x \leq 0 $
- A derivada $ f’(x) < 0 $ quando $ 0 < x < 1 $
- A derivada $ f’(x) > 0 $ quando $ x \geq 1 $
Queremos descobrir em qual intervalo a raiz dessa função está localizada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e comportamento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que os valores de $ f(0) $ e $ f(1) $ nos dizem. Sabemos que $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = -2 $, ou seja, a função tem valores negativos nesses pontos. Para encontrar uma raiz, precisamos que a função mude de sinal, ou seja, passar de negativo para positivo ou vice-versa.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo dado pelas derivadas:
- Para $ x \leq 0 $, $ f’(x) > 0 $: isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
- Para $ 0 < x < 1 $, $ f’(x) < 0 $: aqui, a função está decrescendo.
- Para $ x \geq 1 $, $ f’(x) > 0 $: novamente, a função está crescendo.
Passo 4
Como a função está aumentando antes e depois do intervalo $ (0, 1) $ e diminuindo dentro desse intervalo, precisamos verificar onde ela pode cruzar o eixo x. Sabemos que em $ x = 0 $, $ f(0) = -1 $, e em $ x = 1 $, $ f(1) = -2 $. A função está descendo de $ x = 0 $ para $ x = 1 $.
Passo 5
Para ter uma raiz, a função deve mudar de sinal. Mas como $ f(0) = -1 $ e $ f(1) = -2 $, ambos negativos, não há mudança de sinal nesse intervalo. Portanto, não há raiz em $ (0, 1) $.
Passo 6
Agora, vamos olhar para os outros intervalos:
- Em $ ]-\infty, 0[ $: a função está crescendo e chega a $ f(0) = -1 $. Se considerarmos que, conforme $ x $ tende a $ -\infty $, a função pode tender a um valor positivo ou negativo, mas como não temos essa informação, assumimos que há possibilidade de cruzar o eixo x nesse intervalo.
- Em $ ]1, +\infty[ $: a função está crescendo a partir de $ x = 1 $ onde $ f(1) = -2 $. É possível que a função atinja zero nesse intervalo se continuar crescendo.
Passo 7
Como sabemos que a função tem pelo menos uma raiz e não há mudança de sinal em $ (0, 1) $, a raiz deve estar em outro lugar. Observando os intervalos restantes, a raiz pode estar tanto em $ ]-\infty, 0[ $ quanto em $ ]1, +\infty[ $.
Resposta
A raiz da função está em $ ]-\infty, 0[ $ ou em $ ]1, +\infty[ $.