Aplicando o teorema de Green calcular a seguinte integral de linha
ointlambda(-x^2 y) d x+x y^2 d y
sendo lambda o caminho cujo traço coincide com a circunferência x^2+y^2=a^2, e percorre ela no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
ointlambda(-x^2 y) d x + x y^2 d y
onde lambda é o contorno que é uma circunferência de raio a ( x^2+y^2=a^2) e percorre no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pelo contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = -x^2 y e Q = x y^2. A região D é o interior da circunferência x^2+y^2=a^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (-x^2 y) = -x^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( y^2 - (-x^2) ) dA = integral duplaD (x^2 + y^2) dA
Então, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla da função x^2 + y^2 sobre a região D.

Passo 5

Perceba que x^2 + y^2 é exatamente a equação da nossa circunferência, que é igual a a^2 na fronteira. Mas para a integral dupla, precisamos integrar x^2 + y^2 sobre todo o disco de raio a.

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região é circular. Lembrando que:
x = r costheta, y = r sintheta, dA = r,dr,dtheta
E x^2 + y^2 = r^2. Assim, a integral dupla fica:
integral duplaD r^2 cdot r,dr,dtheta = integral duplaD r^3,dr,dtheta

Passo 7

Definimos os limites de integração em coordenadas polares. r vai de 0 a a e theta vai de 0 a 2pi:
integral0^2pi integral0^a r^3,dr,dtheta

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^a r^3,dr = [ r^44 ]0^a = a^44
Agora, integraremos em relação a theta:
integral0^2pi a^44 ,dtheta = a^44 cdot 2pi = pi a^42

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é pi a^42.

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