Aplicando o teorema de Green calcular a seguinte integral de linha
sendo
o caminho cujo traço coincide com a circunferência
, e percorre ela no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
onde
é o contorno que é uma circunferência de raio
(
) e percorre no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pelo contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
Aqui,
e
. A região
é o interior da circunferência
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Então, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla da função
sobre a região
.
Passo 5
Perceba que
é exatamente a equação da nossa circunferência, que é igual a
na fronteira. Mas para a integral dupla, precisamos integrar
sobre todo o disco de raio
.
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região é circular. Lembrando que:
E
. Assim, a integral dupla fica:
Passo 7
Definimos os limites de integração em coordenadas polares.
vai de
a
e
vai de
a
:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integraremos em relação a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é
.