Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Maclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. c)
.
Passo 1
Temos a série S = 1/3 + 1/(9⋅2!) + 1/(27⋅3!) + 1/(81⋅4!) + …, que envolve potências de 1/3 e fatoriais. O conteúdo é séries de Maclaurin e vamos precisar da expansão de e^x e do conceito de raio de convergência.
Passo 2
Observando os primeiros termos, o enésimo termo é 1/(3^n n!). Assim, podemos expressar S como
Passo 3
Lembrando que a série de Maclaurin de e^x é
se tomarmos x = 1/3, obtemos
Como nosso somatório começa em n=1, subtraímos o termo n=0 igual a 1, ficando
Passo 4
A série de e^x tem raio de convergência infinito, ou seja, ela converge absolutamente para todo x\inℝ. Em particular, para x=1/3 a série converge e seu valor é e^{1/3} - 1.