Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Maclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. c) S=13+19 cdot 2!+127 cdot 3!+181 cdot 4!+ldots.

Passo 1

Temos a série S = 1/3 + 1/(9⋅2!) + 1/(27⋅3!) + 1/(81⋅4!) + …, que envolve potências de 1/3 e fatoriais. O conteúdo é séries de Maclaurin e vamos precisar da expansão de e^x e do conceito de raio de convergência.

Passo 2

Observando os primeiros termos, o enésimo termo é 1/(3^n n!). Assim, podemos expressar S como
S = sumn=1^infty 13^n,n!

Passo 3

Lembrando que a série de Maclaurin de e^x é
e^x = sumn=0^infty x^nn!
se tomarmos x = 1/3, obtemos
e^1/3 = sumn=0^infty (1/3)^nn! = sumn=0^infty 13^n,n!
Como nosso somatório começa em n=1, subtraímos o termo n=0 igual a 1, ficando
S = e^1/3 - 1

Passo 4

A série de e^x tem raio de convergência infinito, ou seja, ela converge absolutamente para todo x\inℝ. Em particular, para x=1/3 a série converge e seu valor é e^{1/3} - 1.

Resposta

S = sumn=1^infty 13^n,n! = e^1/3 - 1, que converge absolutamente (raio de convergência infinito).

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