Aplicando o teorema de Pitágoras (a versão comum bidimensional) duas vezes, mostre que o comprimento r de um vetor tridimensional
satisfaz
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos um vetor tridimensional
e queremos encontrar o comprimento desse vetor, que é representado por
. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras duas vezes. Isso envolve entender como calcular distâncias no espaço 3D usando a geometria do triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar apenas as duas primeiras componentes do vetor,
e
. Imagine que você tem um triângulo retângulo onde os catetos são
e
. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo, que vamos chamar de
, é dada por:
Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem no plano bidimensional.
Passo 3
Agora, vamos incorporar a terceira componente,
. Pense que agora temos um novo triângulo retângulo onde um cateto é
(que já calculamos) e o outro cateto é
. Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo maior será o comprimento total do vetor
, ou seja,
:
Substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 2:
Resposta
O comprimento do vetor tridimensional
é dado por: