Aplicando o teorema de Pitágoras (a versão comum bidimensional) duas vezes, mostre que o comprimento r de um vetor tridimensional r=(x, y, z) satisfaz r^2=x^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos um vetor tridimensional r = (x, y, z) e queremos encontrar o comprimento desse vetor, que é representado por r. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras duas vezes. Isso envolve entender como calcular distâncias no espaço 3D usando a geometria do triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar apenas as duas primeiras componentes do vetor, x e y. Imagine que você tem um triângulo retângulo onde os catetos são x e y. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo, que vamos chamar de dxy, é dada por:
dxy = raizx^2 + y^2
Aqui, dxy representa a distância do ponto (x, y) até a origem no plano bidimensional.

Passo 3

Agora, vamos incorporar a terceira componente, z. Pense que agora temos um novo triângulo retângulo onde um cateto é dxy (que já calculamos) e o outro cateto é z. Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo maior será o comprimento total do vetor r, ou seja, r:
r = raizdxy^2 + z^2
Substituindo dxy pela expressão que encontramos no Passo 2:
r = raiz(x^2 + y^2) + z^2 = raizx^2 + y^2 + z^2

Resposta

O comprimento do vetor tridimensional r = (x, y, z) é dado por:
r^2 = x^2 + y^2 + z^2

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