Considere um inseto que está voando em uma trajetória espiral na tentativa de alcançar uma rosa. Se o movimento é tal que a distância radial diminui a uma taxa
, enquanto a velocidade angular aumenta a uma taxa
, obtenha a expressão para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um inseto que voa em uma trajetória espiral em direção a uma rosa. O problema está relacionado a movimento em coordenadas polares, onde a distância radial diminui com o tempo e a velocidade angular aumenta. Vamos precisar usar as equações de velocidade e aceleração em coordenadas polares para encontrar as expressões de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que descrevem o movimento do inseto:
- A distância radial:
- A velocidade angular:
Aqui,
,
e
são constantes, e
representa o tempo.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
do inseto, usamos a seguinte fórmula em coordenadas polares:
Onde:
-
é a derivada de em relação ao tempo. -
é o termo que representa a velocidade angular. -
e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular
, que é a derivada de
:
Agora, já sabemos que
e
. Substituindo esses valores na fórmula da velocidade:
Passo 5
Simplificando a expressão da velocidade:
Passo 6
Agora, para encontrar a aceleração
, usamos a fórmula em coordenadas polares:
Onde:
-
é a segunda derivada de . -
é a segunda derivada de .
Passo 7
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, substituindo na fórmula da aceleração:
Passo 8
Simplificando as expressões:
Para a componente radial:
Para a componente angular:
Então, a aceleração fica:
Resposta
As expressões para a velocidade e aceleração do inseto são: