Considere um inseto que está voando em uma trajetória espiral na tentativa de alcançar uma rosa. Se o movimento é tal que a distância radial diminui a uma taxa r=b-c t, enquanto a velocidade angular aumenta a uma taxa dotphi=k t, obtenha a expressão para v(t) e a(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um inseto que voa em uma trajetória espiral em direção a uma rosa. O problema está relacionado a movimento em coordenadas polares, onde a distância radial diminui com o tempo e a velocidade angular aumenta. Vamos precisar usar as equações de velocidade e aceleração em coordenadas polares para encontrar as expressões de v(t) e a(t).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que descrevem o movimento do inseto:
  • A distância radial: r(t) = b - ct
  • A velocidade angular: dotphi(t) = k t
Aqui, b, c e k são constantes, e t representa o tempo.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v(t) do inseto, usamos a seguinte fórmula em coordenadas polares:
v = dotr er + r dotphi ephi
Onde:
  • dotr é a derivada de r(t) em relação ao tempo.
  • r dotphi é o termo que representa a velocidade angular.
  • er e ephi são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular dotr, que é a derivada de r(t):
dotr(t) = ddt(b - ct) = -c
Agora, já sabemos que r(t) = b - ct e dotphi(t) = k t. Substituindo esses valores na fórmula da velocidade:
v(t) = (-c) er + (b - ct)(k t) ephi

Passo 5

Simplificando a expressão da velocidade:
v(t) = -c er + k t (b - ct) ephi

Passo 6

Agora, para encontrar a aceleração a(t), usamos a fórmula em coordenadas polares:
a = (ddotr - r dotphi^2) er + (r ddotphi + 2 dotr dotphi) ephi
Onde:
  • ddotr é a segunda derivada de r(t).
  • ddotphi é a segunda derivada de phi(t).

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias:
ddotr(t) = ddt(-c) = 0
ddotphi(t) = ddt(k t) = k
Agora, substituindo na fórmula da aceleração:
a(t) = [0 - (b - ct)(k t)^2] er + [(b - ct) k + 2 (-c)(k t)] ephi

Passo 8

Simplificando as expressões:
Para a componente radial:
0 - (b - ct)(k t)^2 = -k t^2 (b - ct)
Para a componente angular:
(b - ct) k + 2 (-c)(k t) = k (b - ct) - 2 c k t = k b - k ct - 2 c k t = k b - k t (c + 2c) = k b - 3 c k t
Então, a aceleração fica:
a(t) = -k t^2 (b - ct) er + (k b - 3 c k t) ephi

Resposta

As expressões para a velocidade e aceleração do inseto são:
v(t) = -c er + k t (b - ct) ephi
a(t) = -k t^2 (b - ct) er + (k b - 3 c k t) ephi

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