- Use o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
c)
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da razão na série
Informações dadas:
- A série é a soma dos termos
para . - A tarefa é decidir se a série é convergente, divergente ou se o teste da razão é inconclusivo.
Passo 2
O teste da razão (dado para uma série com termos
) diz:
As conclusões são:
- se
então a série converge absolutamente (logo converge); - se
então a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Aqui os termos
são positivos, então podemos omitir o valor absoluto, mas vou manter a forma geral do teste.
Passo 3
Primeiro simplifico
para facilitar o cálculo do quociente. Começo reescrevendo coisas:
Logo
Passo 4
Calculo agora o quociente
. Usando a forma simplificada:
Portanto
Assim
Passo 5
Agora tomo o limite quando
:
Para calcular
divido numerador e denominador por
:
Portanto
e
Passo 6
Avalio numericamente
:
Como
, pelo teste da razão a série converge absolutamente (os termos são positivos, então converge).
Resposta
Convergente (convergência absoluta).