1. Use o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
c) \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{\sqrt{5^{n}(n+1)}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{\sqrt{5^{n}(n+1)}}.
Informações dadas:
  • A série é a soma dos termos a_n=\dfrac{2^{n-1}}{\sqrt{5^{n}(n+1)}} para n=1,2,\dots.
  • A tarefa é decidir se a série é convergente, divergente ou se o teste da razão é inconclusivo.

Passo 2

O teste da razão (dado para uma série com termos a_n) diz:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
As conclusões são:
  • se L<1 então a série converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1 então a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui os termos a_n são positivos, então podemos omitir o valor absoluto, mas vou manter a forma geral do teste.

Passo 3

Primeiro simplifico a_n para facilitar o cálculo do quociente. Começo reescrevendo coisas:
\sqrt{5^{n}}=(\sqrt{5})^{n}=5^{n/2}, \qquad 2^{n-1}=\frac{2^{n}}{2}.
Logo
a_n=\frac{2^{n-1}}{\sqrt{5^{n}(n+1)}}=\frac{2^{n}}{2\cdot 5^{n/2}\sqrt{n+1}} =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{n}(n+1)^{-1/2}.

Passo 4

Calculo agora o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a forma simplificada:
a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{n+1}(n+2)^{-1/2}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^{n+1}(n+2)^{-1/2}} {\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^{n}(n+1)^{-1/2}} =\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\frac{(n+1)^{1/2}}{(n+2)^{1/2}}.
Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{2}{\sqrt{5}}\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}.
Para calcular \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n+2} divido numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{n+2}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{2}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1+0}{1+0}=1.
Portanto \lim_{n\to\infty}\sqrt{\dfrac{n+1}{n+2}}=1 e
L=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Avalio numericamente L:
\frac{2}{\sqrt{5}}\approx\frac{2}{2{,}236\ldots}\approx0{,}8944\ldots<1.
Como L<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente (os termos são positivos, então converge).

Resposta

Convergente (convergência absoluta).

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