Determine, caso existam, os seguintes limites
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y}{2 x^{6}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, caso exista, o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • É necessário decidir se esse limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o valor; caso não exista, justificar por que não existe.

Passo 2

O que significa que o limite exista (intuição e teste prático).
  • Intuitivamente, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e vale L se, não importa por qual caminho a origem seja atingida no plano, os valores de f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
  • Uma técnica prática muito útil: se for possível encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam à origem e pelos quais os limites de f são diferentes, então o limite total não existe. Isso porque a existência do limite exigiria que todas as trajetórias produzissem o mesmo valor.
  • Assim, para mostrar que o limite não existe normalmente basta encontrar uma família de caminhos parametrizada por um parâmetro que dê limites diferentes dependendo desse parâmetro.

Passo 3

Escolha do caminho a testar (intuição).
  • Observe a expressão \dfrac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}}. Se escolhermos um caminho em que y seja da ordem de x^{3}, então y^{2} terá ordem x^{6} e ficará do mesmo nível de 2x^{6} no denominador. Isso costuma produzir um quociente que tende a um valor que depende da razão entre as constantes, possível de variar com o caminho. Por isso escolhemos a família de caminhos
y = m x^{3},
onde m é um número real (constante).

Passo 4

Avaliação do limite ao longo do caminho y=m x^{3}.
  • Substituindo y=m x^{3} na expressão, para x\neq0:
\frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} = \frac{x^{3}\cdot (m x^{3})}{2x^{6}+(m x^{3})^{2}}.
  • Simplificando os potes iguais de x:
\frac{x^{3}\cdot m x^{3}}{2x^{6}+m^{2}x^{6}} = \frac{m x^{6}}{(2+m^{2})x^{6}} = \frac{m}{2+m^{2}}.
  • Essa expressão é constante (não depende de x), então ao fazermos x\to0 ao longo desse caminho o valor tende a
\lim_{x\to0}\frac{x^{3}(m x^{3})}{2x^{6}+(m x^{3})^{2}}=\frac{m}{2+m^{2}}.

Passo 5

Conclusão a partir da dependência em m.
  • Para caminhos diferentes (valores distintos de m) obtemos limites diferentes. Por exemplo:
    • Se m=0 (ou seja, y=0) o limite ao longo do caminho é \dfrac{0}{2+0}=0.
    • Se m=1 (ou seja, y=x^{3}) o limite ao longo do caminho é \dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}.
    • Se m=-1 o limite é -\dfrac{1}{3}.
  • Como existem caminhos que dão valores diferentes ( 0, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{3}, etc.), não há um único valor comum a todas as trajetórias.
  • Pelo critério de dependência de caminho, isso implica que o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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