Determine, caso existam, os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede para determinar, caso exista, o valor do limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - É necessário decidir se esse limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o valor; caso não exista, justificar por que não existe.
Passo 2
O que significa que o limite exista (intuição e teste prático).
- Intuitivamente, o limite de
quando existe e vale se, não importa por qual caminho a origem seja atingida no plano, os valores de se aproximam do mesmo número . - Uma técnica prática muito útil: se for possível encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam à origem e pelos quais os limites de
são diferentes, então o limite total não existe. Isso porque a existência do limite exigiria que todas as trajetórias produzissem o mesmo valor. - Assim, para mostrar que o limite não existe normalmente basta encontrar uma família de caminhos parametrizada por um parâmetro que dê limites diferentes dependendo desse parâmetro.
Passo 3
Escolha do caminho a testar (intuição).
- Observe a expressão
. Se escolhermos um caminho em que seja da ordem de , então terá ordem e ficará do mesmo nível de no denominador. Isso costuma produzir um quociente que tende a um valor que depende da razão entre as constantes, possível de variar com o caminho. Por isso escolhemos a família de caminhos
onde
é um número real (constante).
Passo 4
Avaliação do limite ao longo do caminho
.
- Substituindo
na expressão, para :
- Simplificando os potes iguais de
:
- Essa expressão é constante (não depende de
), então ao fazermos ao longo desse caminho o valor tende a
Passo 5
Conclusão a partir da dependência em
.
- Para caminhos diferentes (valores distintos de
) obtemos limites diferentes. Por exemplo: - Se
(ou seja, ) o limite ao longo do caminho é . - Se
(ou seja, ) o limite ao longo do caminho é . - Se
o limite é .
- Se
- Como existem caminhos que dão valores diferentes (
, , , etc.), não há um único valor comum a todas as trajetórias. - Pelo critério de dependência de caminho, isso implica que o limite em duas variáveis não existe.
Resposta
O limite não existe.