Determine, caso existam, os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede para determinar, caso exista, o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A função considerada é
, definida sempre que . - O ponto onde queremos o limite é
.
A pergunta única é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor? Se não, justificar por que não existe.
Passo 2
Rápida lembrança útil sobre limites em duas variáveis (didático): dizer que
significa que para qualquer sequência
que tenda a
com
em domínio de
, os valores
tendem para o mesmo
. Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (dois caminhos) que levem a
e ao longo das quais
tende a valores diferentes. Isso vale porque o limite, se existir, deve ser independente do caminho.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão mostrando que ela depende apenas da razão
(quando
). Se
escrevemos:
Isso mostra que, ao aproximar
por pontos com uma relação de proporção fixa
(reta passando pela origem,
constante), o valor de
não depende do tamanho de
mas só de
.
Passo 4
Substituindo
(com
fixo e tal que
) obtemos
Portanto, ao aproximar
ao longo da reta
(com
), a função tende ao valor constante
.
Passo 5
Agora escolhemos duas retas com inclinações diferentes para obter limites diferentes:
- Para
(trajetória ) temos
Logo ao longo de
com
,
.
- Para
(trajetória ) temos
Logo ao longo de
com
,
.
Esses dois limites de trajetórias são valores diferentes (
e
).
Passo 6
Conclusão lógica: como existem dois caminhos (por exemplo
e
) que levam a
e para os quais
tende a valores distintos, o limite
não pode existir. Observação: a reta
torna o denominador zero (função não definida sobre essa reta), mas isso não impede usar outras retas onde a função está definida para mostrar dependência de caminho.
Resposta
O limite não existe.