Determine, caso existam, os seguintes limites
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, caso exista, o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}, definida sempre que x^{3}+y^{3}\neq0.
  • O ponto onde queremos o limite é (x,y)\to(0,0).
    A pergunta única é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor? Se não, justificar por que não existe.

Passo 2

Rápida lembrança útil sobre limites em duas variáveis (didático): dizer que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa que para qualquer sequência (x_n,y_n) que tenda a (0,0) com (x_n,y_n) em domínio de f, os valores f(x_n,y_n) tendem para o mesmo L. Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (dois caminhos) que levem a (0,0) e ao longo das quais f tende a valores diferentes. Isso vale porque o limite, se existir, deve ser independente do caminho.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão mostrando que ela depende apenas da razão y/x (quando x\neq0). Se x\neq0 escrevemos:
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}} = \frac{x^{3}\!\left(1-\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}\right)}{x^{3}\!\left(1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}\right)} = \frac{1-\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}}.
Isso mostra que, ao aproximar (0,0) por pontos com uma relação de proporção fixa y = m x (reta passando pela origem, m constante), o valor de f(x,y) não depende do tamanho de x mas só de m.

Passo 4

Substituindo y=mx (com m fixo e tal que 1+m^{3}\neq0) obtemos
\frac{x^{3}-(mx)^{3}}{x^{3}+(mx)^{3}} = \frac{1-m^{3}}{1+m^{3}}.
Portanto, ao aproximar (0,0) ao longo da reta y=mx (com m^{3}\neq-1), a função tende ao valor constante \dfrac{1-m^{3}}{1+m^{3}}.

Passo 5

Agora escolhemos duas retas com inclinações diferentes para obter limites diferentes:
  • Para m=0 (trajetória y=0) temos
\frac{1-0^{3}}{1+0^{3}}=\frac{1}{1}=1.
Logo ao longo de (x,0) com x\to0, f(x,0)\to1.
  • Para m=1 (trajetória y=x) temos
\frac{1-1^{3}}{1+1^{3}}=\frac{1-1}{1+1}=0.
Logo ao longo de (x,x) com x\to0, f(x,x)\to0.
Esses dois limites de trajetórias são valores diferentes ( 1 e 0).

Passo 6

Conclusão lógica: como existem dois caminhos (por exemplo y=0 e y=x) que levam a (0,0) e para os quais f(x,y) tende a valores distintos, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}} não pode existir. Observação: a reta y=-x torna o denominador zero (função não definida sobre essa reta), mas isso não impede usar outras retas onde a função está definida para mostrar dependência de caminho.

Resposta

O limite não existe.

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