Aplicando o teste da integral
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
sumn=1^infty 1n+4

Passo 1

Beleza, a gente precisa analisar a série
sumn=1^infty 1n+4
usando o teste da integral. Isso faz parte do tópico “Testes de Convergência de Séries” (mais especificamente o teste da integral). Para aplicar esse teste, a gente vai usar uma função contínua, positiva e decrescente que “espelhe” o termo geral da série. Depois, calcula a integral imprópria dessa função de 1 até ∞ e vê se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, escolhemos a função
f(x) = 1x+4,
com f'(x) = -1(x+4)^2 < 0 . Agora, confirmamos as hipóteses do teste da integral:
  1. f(x) é positiva para todo (claro, denominador ).
  2. f(x) é contínua em (nenhum ponto de descontinuidade).
  3. f(x) é decrescente em . Podemos ver isso derivando:
Logo, tudo certo para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Agora, a gente calcula a integral imprópria
integral1^infty 1x+4,dx
Fazendo a primitiva:
integral 1x+4,dx = lnl|x+4r| + C
Então
integral1^infty 1x+4,dx = limbtoinfty l[ln(x+4)r]1^b = limbtoinfty l(ln(b+4) - ln(5)r)
Quando , . Portanto a integral diverge (fica infinita).

Passo 4

O teste da integral diz:
  • Se sumn=1^infty 1n+4 converge, a série converge.
  • Se diverge, a série diverge.
Aqui a integral divergiu, logo a série
também diverge.

Resposta

A série diverge, pelo teste da integral.

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