Aplicando o teste da integral
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Beleza, a gente precisa analisar a série
usando o teste da integral. Isso faz parte do tópico “Testes de Convergência de Séries” (mais especificamente o teste da integral). Para aplicar esse teste, a gente vai usar uma função contínua, positiva e decrescente que “espelhe” o termo geral da série. Depois, calcula a integral imprópria dessa função de 1 até ∞ e vê se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, escolhemos a função
com . Agora, confirmamos as hipóteses do teste da integral:
f(x) é positiva para todo (claro, denominador ).
f(x) é contínua em (nenhum ponto de descontinuidade).
f(x) é decrescente em . Podemos ver isso derivando:
Logo, tudo certo para aplicar o teste da integral.