Aplicando o teste da integral
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é a série
.
O assunto é “Teste da Integral” para determinar convergência ou não de séries.
Para aplicar esse teste, a gente lembra:
O assunto é “Teste da Integral” para determinar convergência ou não de séries.
Para aplicar esse teste, a gente lembra:
- Definir a função
tal que . - Verificar que
é positiva, contínua e (eventualmente) decrescente para . - Estudar a integral imprópria
. Se ela converge, a série também converge; se diverge, a série diverge.
Passo 2
Vamos escolher
-
e é contínua em porque exponencial e polinômio são funções “suaves”. - Precisamos ver se ela decresce a partir de um certo ponto. Calculando a derivada:
Reparou que para
, o fator
fica negativo, então
a partir de
.
Isso basta: a gente só precisa que seja decrescente a partir de algum , pois os primeiros termos não mudam convergência.
Isso basta: a gente só precisa que seja decrescente a partir de algum
Passo 3
Agora, olha a integral imprópria
Vamos ver por que ela converge. Usamos integração por partes:
- Tome
, . - Então
e .
- Então
- Para
, faz outra partes com , , dá um termo parecido e resulta num termo finito mais . Todos esses pedaços em e analogamente no próximo vão a zero quando , porque decai mais rápido que cresce.
Logo
ou seja, a integral converge.
Pelo Teste da Integral, como
é finita e
satisfaz as condições, a série
converge.
converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Integral.