Aplicando o teste da integral
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
sumn=1^infty n^2e^n / 3

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é a série
.
O assunto é “Teste da Integral” para determinar convergência ou não de séries.
Para aplicar esse teste, a gente lembra:
  1. Definir a função tal que .
  2. Verificar que é positiva, contínua e (eventualmente) decrescente para .
  3. Estudar a integral imprópria . Se ela converge, a série também converge; se diverge, a série diverge.

Passo 2

Vamos escolher
f(x)=x^2e^x/3 ;, x>=1
  1. f'(x) =ddxl(x^2e^-x/3r) =e^-x/3l(2x-tfracx^23r) =e^-x/3,xl(2-tfracx3r) e é contínua em porque exponencial e polinômio são funções “suaves”.
  2. Precisamos ver se ela decresce a partir de um certo ponto. Calculando a derivada:
Reparou que para , o fator fica negativo, então a partir de .
Isso basta: a gente só precisa que seja decrescente a partir de algum , pois os primeiros termos não mudam convergência.

Passo 3

Agora, olha a integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx =integral1^inftyx^2e^-x/3,dx
Vamos ver por que ela converge. Usamos integração por partes:
  1. Tome integral x^2e^-x/3dx =uv-integral v,du =-3x^2e^-x/3 +integral 3cdot2x,e^-x/3dx =-3x^2e^-x/3+6integral x e^-x/3dx , limbtoinftyintegral1^bx^2e^-x/3dx.
    • Então e .
  1. Para , faz outra partes com , , dá um termo parecido e resulta num termo finito mais . Todos esses pedaços em e analogamente no próximo vão a zero quando , porque decai mais rápido que cresce.
    Logo
ou seja, a integral converge.
Pelo Teste da Integral, como é finita e satisfaz as condições, a série

converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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