Aplicando os testes de convergência verifique se a série numérica abaixo é convergente ou divergente
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita
. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries numéricas e testes de convergência, que nos ajudam a determinar se uma série infinita soma a um número finito (convergente) ou se cresce sem limites (divergente). Para resolver esse exercício, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste da Razão.
Passo 2
Vamos começar analisando os termos da série:
. Perceba que à medida que n cresce,
cresce muito mais rápido do que n. Então, para grandes valores de n, o termo
é aproximadamente igual a
.
Passo 3
Isso simplifica o termo geral da série para algo próximo de
. Agora, consideramos a série
, que é uma série geométrica com razão
.
Passo 4
Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, que satisfaz
, portanto, a série geométrica
é convergente.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Como
para todo n, então
. Já que a série
converge e nossos termos são menores que os termos dessa série convergente, podemos concluir que a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.