Aplicando os testes de convergência verifique se a série numérica abaixo é convergente ou divergente
sumn=1^infty 1n+3^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^infty 1n+3^n. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries numéricas e testes de convergência, que nos ajudam a determinar se uma série infinita soma a um número finito (convergente) ou se cresce sem limites (divergente). Para resolver esse exercício, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste da Razão.

Passo 2

Vamos começar analisando os termos da série: an = 1n + 3^n. Perceba que à medida que n cresce, 3^n cresce muito mais rápido do que n. Então, para grandes valores de n, o termo n + 3^n é aproximadamente igual a 3^n.

Passo 3

Isso simplifica o termo geral da série para algo próximo de an approx 13^n. Agora, consideramos a série sumn=1^infty 13^n, que é uma série geométrica com razão r = 13.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 13, que satisfaz |r| < 1, portanto, a série geométrica sumn=1^infty 13^n é convergente.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Como n + 3^n > 3^n para todo n, então 1n + 3^n < 13^n. Já que a série sum 13^n converge e nossos termos são menores que os termos dessa série convergente, podemos concluir que a série original sum 1n + 3^n também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n + 3^n é convergente.

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