Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
Determine o domínio
de
. Faça um esboço do domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função de duas variáveis $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $ e fazer um esboço desse domínio. O domínio é basicamente o conjunto de todos os pares
que tornam a função válida, ou seja, onde a função está “dentro do ar”. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis e as condições que garantem que a função está bem definida, especialmente por causa da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $ estar bem definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser não negativo. Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Matematicamente, isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade $ 4 - x^{2} - y^{2} \geq 0 $ para encontrar os valores de
e
que satisfazem essa condição.
Primeiro, podemos rearranjar a desigualdade:
Essa desigualdade descreve todos os pontos
cuja distância até a origem (0,0) é menor ou igual a 2, já que $ \sqrt{4} = 2 $.
Passo 4
A expressão $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem. O símbolo “
” indica que estamos incluindo todos os pontos dentro desse círculo e também os pontos na fronteira do círculo.
Portanto, o domínio $ D $ da função $ f $ é o conjunto de todos os pares
que estão dentro ou na fronteira desse círculo.
Passo 5
Para fazer um esboço do domínio, basta desenhar um círculo com raio 2 no plano
, centrado na origem. Todos os pontos dentro e na circunferência desse círculo fazem parte do domínio da função.
Resposta
O domínio $ D $ da função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $ é o conjunto de todos os pares
que satisfazem $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Graficamente, isso corresponde a um círculo de raio 2 centrado na origem, incluindo todos os pontos dentro e na circunferência desse círculo.