Encontre a transformada inversa de Laplace das funções a seguir.
F(s)=s^2-2(s^2+3)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função F(s)=s^2-2(s^2+3)^2. O assunto é transformada inversa de Laplace e vamos precisar usar propriedades de decomposição de frações racionais no domínio de s e tabelas conhecidas de transformadas de funções envolvendo t, sin(at) e cos(at).

Passo 2

Como primeiro passo de resolução, note que podemos escrever o numerador como
s^2 - 2 = (s^2 - 3) + 1
então
F(s)=s^2-3(s^2+3)^2+1(s^2+3)^2

Passo 3

Para a primeira parcela, reconhecemos na tabela de transformadas que, com a=raiz3,
Ltcos(at)=s^2-a^2(s^2+a^2)^2
Como aqui s^2-a^2=s^2-3, conclui-se que
L^-1s^2-3(s^2+3)^2=tcos(raiz3,t)

Passo 4

Para a segunda parcela, usamos a fórmula (ou derivação via propriedades de derivada em s)
L^-11(s^2+a^2)^2=12a^3sin(at)-t2a^2cos(at)

Passo 5

Substituindo a=raiz3 obtemos
L^-11(s^2+3)^2=16raiz3sin(raiz3 t)-t6cos(raiz3 t)

Passo 6

Somando as duas parcelas, a função no tempo fica

Passo 7

Agrupando os termos em tcos(raiz3 t) resulta
f(t)=l(1-tfrac16r)tcos(raiz3 t)+16raiz3sin(raiz3 t)=56tcos(raiz3 t)+16raiz3sin(raiz3 t)

Resposta

f(t)=56,tcos(raiz3,t)+16raiz3,sin(raiz3,t)

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