Aplicando o TFC-1, encontre as seguintes derivadas:
dd x[integral1^x^3 raiz[3]t^2+1 d t]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada de uma integral que tem o limite superior como uma função de x . Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC-1). Para resolver, vamos precisar usar esse teorema que conecta derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral. Aqui, temos:
f(t) = raiz[3]t^2 + 1
E a integral está de 1 até x^3 . Então, nossa integral fica:
integral1^x^3 raiz[3]t^2 + 1 , dt

Passo 3

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se F(x) = integrala^g(x) f(t) , dt , então a derivada de F(x) em relação a x é:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x)
Ou seja, derivamos a integral avaliando a função integranda no limite superior e multiplicamos pela derivada desse limite.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • f(t) = raiz[3]t^2 + 1
  • g(x) = x^3
  • g'(x) = ddx x^3 = 3x^2

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do TFC-1:
ddx [ integral1^x^3 raiz[3]t^2 + 1 , dt ] = raiz[3](x^3)^2 + 1 cdot 3x^2

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz cúbica:
(x^3)^2 = x^6
Então:
raiz[3]x^6 + 1 cdot 3x^2

Passo 7

Podemos escrever a resposta de forma mais arrumada:
3x^2 cdot raiz[3]x^6 + 1

Resposta

A derivada é 3x^2 cdot raiz[3]x^6 + 1 .

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