Calcule as seguintes integrais definidas aplicando o TFC - 2:
integral1^2(6 x-2) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral definida integral1^2(6x - 2) , dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 (TFC-2). Esse teorema nos ajuda a calcular integrais encontrando a antiderivada da função. Então, vamos precisar saber como encontrar antiderivadas e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função dentro da integral, que é 6x - 2. A antiderivada é uma função cuja derivada nos dá de volta a função original. Para isso, a gente integra termo a termo:
integral (6x - 2) , dx = integral 6x , dx - integral 2 , dx

Passo 3

Agora, integraremos cada termo separadamente:
  1. integral 6x , dx = 6 cdot x^22 = 3x^2
  2. integral 2 , dx = 2x
Então, a antiderivada completa é:
3x^2 - 2x + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 4

Segundo o TFC-2, para calcular a integral definida, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
[3x^2 - 2x]1^2 = (3(2)^2 - 2(2)) - (3(1)^2 - 2(1))

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para x = 2:
3(2)^2 - 2(2) = 3 cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8
Para x = 1:
3(1)^2 - 2(1) = 3 cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1

Passo 6

Agora, subtraímos os valores:
8 - 1 = 7

Resposta

O valor da integral integral1^2(6x - 2) , dx é 7.

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