Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial de Euler de 3º ordem:
x³ y’’’ + 2x y’ − 2y = x² ln x + 3x.
O conteúdo é resolver equações de Euler, e vamos usar a troca de variável t = ln x para transformar em uma EDO de coeficientes constantes.
x³ y’’’ + 2x y’ − 2y = x² ln x + 3x.
O conteúdo é resolver equações de Euler, e vamos usar a troca de variável t = ln x para transformar em uma EDO de coeficientes constantes.
Passo 2
Fazendo t = ln x e y(x)=Y(t), usamos as fórmulas de derivadas em equações de Euler:
Substituindo, a parte esquerda vira:
e o lado direito x² ln x+3x se torna
Assim obtemos a EDO em t:
Passo 3
Para a homogênea Y’’’-3Y’’+4Y’-2Y=0, achamos o polinômio característico:
Testando r=1, obtemos fator (r−1). Dividindo, sobra r²−2r+2=0 com raízes 1±i. Logo
Passo 4
Para o termo e^{2t}t, propomos Y_{p1}=e^{2t}(A t+B). Calculamos Y’ ,Y’’,Y’’’ e substituímos em Y’’’-3Y’’+4Y’-2Y= e^{2t}t. Fazendo as contas dos coeficientes em t e constantes, achamos A=1/2 e B=−1. Então
Passo 5
Para o termo 3e^t, como r=1 é raiz simples, tentamos Y_{p2}=Ae^t t. Derivando e substituindo em Y’’’-3Y’’+4Y’-2Y=3e^t, concluímos que A=3. Logo
Passo 6
A solução geral em t é Y=Y_h+Y_{p1}+Y_{p2}. Voltando a x (com e^t=x, e^ {2t}=x² e t=ln x) obtemos
Resposta
y(x)=C_1x+C_2x\cos(\ln x)+C_3x\sin(\ln x)+\frac{x^2}{2}\ln x -x^2+3x\ln x