x^3 y^prime prime prime+2 x y^prime-2 y=x^2 ln x+3 x

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial de Euler de 3º ordem:
x³ y’’’ + 2x y’ − 2y = x² ln x + 3x.
O conteúdo é resolver equações de Euler, e vamos usar a troca de variável t = ln x para transformar em uma EDO de coeficientes constantes.

Passo 2

Fazendo t = ln x e y(x)=Y(t), usamos as fórmulas de derivadas em equações de Euler:
y'=Y'x, y''=Y''-Y'x^2, y'''=Y'''-3Y''+2Y'x^3
Substituindo, a parte esquerda vira:
Y'''-3Y''+4Y'-2Y,
e o lado direito x² ln x+3x se torna
e^2tt+3e^t
Assim obtemos a EDO em t:
Y'''-3Y''+4Y'-2Y=e^2tt+3e^t

Passo 3

Para a homogênea Y’’’-3Y’’+4Y’-2Y=0, achamos o polinômio característico:
r^3-3r^2+4r-2=0
Testando r=1, obtemos fator (r−1). Dividindo, sobra r²−2r+2=0 com raízes 1±i. Logo
Yh=C1e^t+C2e^t,cos t+C3e^t,sin t

Passo 4

Para o termo e^{2t}t, propomos Y_{p1}=e^{2t}(A t+B). Calculamos Y’ ,Y’’,Y’’’ e substituímos em Y’’’-3Y’’+4Y’-2Y= e^{2t}t. Fazendo as contas dos coeficientes em t e constantes, achamos A=1/2 e B=−1. Então
Yp1=e^2tl(tfrac12t-1r)

Passo 5

Para o termo 3e^t, como r=1 é raiz simples, tentamos Y_{p2}=Ae^t t. Derivando e substituindo em Y’’’-3Y’’+4Y’-2Y=3e^t, concluímos que A=3. Logo
Yp2=3te^t

Passo 6

A solução geral em t é Y=Y_h+Y_{p1}+Y_{p2}. Voltando a x (com e^t=x, e^ {2t}=x² e t=ln x) obtemos
y(x)=C1x+C2xcos(ln x)+C3xsin(ln x)+x^2l(tfrac12ln x-1r)+3xln x

Resposta

y(x)=C_1x+C_2x\cos(\ln x)+C_3x\sin(\ln x)+\frac{x^2}{2}\ln x -x^2+3x\ln x

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