Ao aplicar a análise de escala às equações de Navier-Stokes para escoamento laminar sobre uma placa plana, assumindo, conclui-se corretamente que:
a) Os termos de inércia podem ser desprezados
b) Os gradientes na direção ( x ) dominam os da direção ( y )
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes
d) A equação completa não pode ser simplificada
e) O escoamento deixa de ser unidirecional
a) Os termos de inércia podem ser desprezados
b) Os gradientes na direção ( x ) dominam os da direção ( y )
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes
d) A equação completa não pode ser simplificada
e) O escoamento deixa de ser unidirecional
Passo 1
O enunciado pergunta, ao aplicar análise de escala às equações de Navier–Stokes para escoamento laminar sobre uma placa plana, qual das alternativas é correta entre:
a) Os termos de inércia podem ser desprezados
b) Os gradientes na direção dominam os da direção
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes
d) A equação completa não pode ser simplificada
e) O escoamento deixa de ser unidirecional
a) Os termos de inércia podem ser desprezados
b) Os gradientes na direção
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes
d) A equação completa não pode ser simplificada
e) O escoamento deixa de ser unidirecional
Informações relevantes implícitas no enunciado:
- É escoamento laminar sobre uma placa plana (boundary layer sobre placa).
- Há duas escalas espaciais óbvias: comprimento na direção da placa
e espessura fina da camada limite , com . - Flow externo com velocidade característica
. Viscosidade cinemática e densidade do fluido estão presentes nas equações de Navier–Stokes incompressíveis (assumimos escoamento incompressível e estacionário para a análise típica).
Passo 2
Escrever as equações que vamos escalar. Para escoamento incompressível bidimensional (direções
paralela e
normal à placa), temos:
Equação de continuidade:
Equação de quantidade de movimento na direção
(Navier–Stokes):
onde
é a velocidade na direção
,
é a velocidade na direção
,
é a viscosidade dinâmica.
Vou escalar cada termo para comparar ordens de grandeza.
Passo 3
Definir escalas características e operadores diferenciais:
-
-direção: escala . Então . -
-direção: espessura da camada limite (com ). Então . - Velocidade tangencial:
(velocidade do escoamento externo). - Velocidade normal:
(a determinar pela continuidade).
Usando estas escalas vamos estimar ordens de grandeza dos termos.
Passo 4
Usar continuidade para relacionar
com
,
e
.
Da continuidade:
Como
e
têm que se compensar:
Isso mostra que
é muito menor que
porque
.
Passo 5
Escalar os termos convectivos (inércia) na equação
.
Termo
:
Termo
:
Conclusão: ambos os termos convectivos têm a mesma ordem
. Portanto os termos de inércia não se anulam nem um é muito menor que o outro; eles geralmente são importantes na camada limite e não podem ser desprezados em geral. Isso já refuta a alternativa (a).
Passo 6
Escalar os termos viscosos (∂²u/∂x² e ∂²u/∂y²).
Viscoso em
:
Viscoso em
:
Comparando:
pois
. Logo
domina fortemente sobre
. Portanto os termos viscosos na direção normal (
) são os dominantes — isso apoia a alternativa (c).
Passo 7
Verificar balanço entre inércia e viscosidade normal (por que não desprezamos inércia).
Tomemos a razão convectivo / viscoso
:
Para a camada limite laminar sobre placa plana, sabe-se (ou pode-se estimar) que
cresce como
. Se tomarmos
da ordem de
obtém-se
. Substituindo dá a razão
. Isso mostra que, na ordem de grandeza correta, os termos convectivos e o termo viscoso em
ficam da mesma ordem e portanto ambos são mantidos no balanço principal da equação de camada limite. Assim:
- Não se desprezam os termos de inércia (contradiz (a)).
- O termo viscoso dominante é o que envolve derivadas em
(confirma (c)). - O termo viscoso em
pode ser desprezado (contradiz (b) que afirma gradientes em dominam).
Passo 8
Escrever a forma simplificada — as equações de camada limite (boundary layer) — que mostram claramente quais termos permanecem:
Balanço de massa (continuidade):
Balanço de momento em
(equação da camada limite):
Além disso, a equação de momento em
reduz-se a
o que indica que a pressão na camada limite é igual à pressão do escoamento externo (função de
apenas). Essas simplificações mostram que a equação completa pode sim ser simplificada — então (d) é falsa. Também mostram que o escoamento continua predominante na direção
(com
pequeno), portanto (e) é falsa.
Passo 9
Resumo didático (como lembrar na prova):
- Use escalas
, , , . - Derivadas:
, . - Compare convectivo
com viscous em . Com os termos se equilibram (ordem 1), então ambos permanecem. - Viscous em
é e é muito menor que o viscous em por um fator . - Conclusão prática: mantenha convectivos e viscous
— isso leva à equação da camada limite. Assim, lembre: “gradientes normais dominam os viscosos; inércia não é desprezível”.
Resposta
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes