Ao aplicar a análise de escala às equações de Navier-Stokes para escoamento laminar sobre uma placa plana, assumindo, conclui-se corretamente que:
a) Os termos de inércia podem ser desprezados
b) Os gradientes na direção ( x ) dominam os da direção ( y )
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes
d) A equação completa não pode ser simplificada
e) O escoamento deixa de ser unidirecional

Passo 1

O enunciado pergunta, ao aplicar análise de escala às equações de Navier–Stokes para escoamento laminar sobre uma placa plana, qual das alternativas é correta entre:
a) Os termos de inércia podem ser desprezados
b) Os gradientes na direção x dominam os da direção y
c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes
d) A equação completa não pode ser simplificada
e) O escoamento deixa de ser unidirecional
Informações relevantes implícitas no enunciado:
  • É escoamento laminar sobre uma placa plana (boundary layer sobre placa).
  • Há duas escalas espaciais óbvias: comprimento na direção da placa L e espessura fina da camada limite \delta, com \delta \ll L.
  • Flow externo com velocidade característica U. Viscosidade cinemática \nu e densidade \rho do fluido estão presentes nas equações de Navier–Stokes incompressíveis (assumimos escoamento incompressível e estacionário para a análise típica).

Passo 2

Escrever as equações que vamos escalar. Para escoamento incompressível bidimensional (direções x paralela e y normal à placa), temos:
Equação de continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Equação de quantidade de movimento na direção x (Navier–Stokes):
\rho\left(u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right),
onde u(x,y) é a velocidade na direção x, v(x,y) é a velocidade na direção y, \mu=\rho\nu é a viscosidade dinâmica.
Vou escalar cada termo para comparar ordens de grandeza.

Passo 3

Definir escalas características e operadores diferenciais:
  • x-direção: escala L. Então \partial/\partial x\sim 1/L.
  • y-direção: espessura da camada limite \delta (com \delta\ll L). Então \partial/\partial y\sim 1/\delta.
  • Velocidade tangencial: u\sim U (velocidade do escoamento externo).
  • Velocidade normal: v\sim V (a determinar pela continuidade).
Usando estas escalas vamos estimar ordens de grandeza dos termos.

Passo 4

Usar continuidade para relacionar V com U, L e \delta.
Da continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x}\sim \frac{U}{L},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}\sim \frac{V}{\delta}.
Como \partial u/\partial x e \partial v/\partial y têm que se compensar:
\frac{U}{L}\sim \frac{V}{\delta}\quad\Rightarrow\quad V\sim U\frac{\delta}{L}.
Isso mostra que v é muito menor que u porque \delta\ll L.

Passo 5

Escalar os termos convectivos (inércia) na equação x.
Termo u\partial u/\partial x:
u\frac{\partial u}{\partial x}\sim U\cdot\frac{U}{L}=\frac{U^2}{L}.
Termo v\partial u/\partial y:
v\frac{\partial u}{\partial y}\sim V\cdot\frac{U}{\delta} \sim \left(U\frac{\delta}{L}\right)\cdot\frac{U}{\delta}=\frac{U^2}{L}.
Conclusão: ambos os termos convectivos têm a mesma ordem \sim U^2/L. Portanto os termos de inércia não se anulam nem um é muito menor que o outro; eles geralmente são importantes na camada limite e não podem ser desprezados em geral. Isso já refuta a alternativa (a).

Passo 6

Escalar os termos viscosos (∂²u/∂x² e ∂²u/∂y²).
Viscoso em x:
\nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\sim \nu\frac{U}{L^2}.
Viscoso em y:
\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\sim \nu\frac{U}{\delta^2}.
Comparando:
\frac{\nu U/\delta^2}{\nu U/L^2}=\left(\frac{L}{\delta}\right)^2\gg 1,
pois L/\delta\gg 1. Logo \nu\partial^2 u/\partial y^2 domina fortemente sobre \nu\partial^2 u/\partial x^2. Portanto os termos viscosos na direção normal ( y) são os dominantes — isso apoia a alternativa (c).

Passo 7

Verificar balanço entre inércia e viscosidade normal (por que não desprezamos inércia).
Tomemos a razão convectivo / viscoso _y:
\frac{U^2/L}{\nu U/\delta^2}=\frac{U\,\delta^2}{\nu L}.
Para a camada limite laminar sobre placa plana, sabe-se (ou pode-se estimar) que \delta cresce como \delta\sim\sqrt{\nu x/U}. Se tomarmos x da ordem de L obtém-se \delta^2\sim \nu L / U. Substituindo dá a razão \sim 1. Isso mostra que, na ordem de grandeza correta, os termos convectivos e o termo viscoso em y ficam da mesma ordem e portanto ambos são mantidos no balanço principal da equação de camada limite. Assim:
  • Não se desprezam os termos de inércia (contradiz (a)).
  • O termo viscoso dominante é o que envolve derivadas em y (confirma (c)).
  • O termo viscoso em x pode ser desprezado (contradiz (b) que afirma gradientes em x dominam).

Passo 8

Escrever a forma simplificada — as equações de camada limite (boundary layer) — que mostram claramente quais termos permanecem:
Balanço de massa (continuidade):
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Balanço de momento em x (equação da camada limite):
u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
Além disso, a equação de momento em y reduz-se a
\frac{\partial p}{\partial y}=0,
o que indica que a pressão na camada limite é igual à pressão do escoamento externo (função de x apenas). Essas simplificações mostram que a equação completa pode sim ser simplificada — então (d) é falsa. Também mostram que o escoamento continua predominante na direção x (com v pequeno), portanto (e) é falsa.

Passo 9

Resumo didático (como lembrar na prova):
  • Use escalas x\sim L, y\sim\delta, u\sim U, v\sim U\delta/L.
  • Derivadas: \partial/\partial x\sim 1/L, \partial/\partial y\sim 1/\delta.
  • Compare convectivo u\partial u/\partial x\sim U^2/L com viscous em y \nu\partial^2 u/\partial y^2\sim \nu U/\delta^2. Com \delta\sim\sqrt{\nu L/U} os termos se equilibram (ordem 1), então ambos permanecem.
  • Viscous em x é \sim \nu U/L^2 e é muito menor que o viscous em y por um fator (\delta/L)^2.
  • Conclusão prática: mantenha convectivos e viscous _y — isso leva à equação da camada limite. Assim, lembre: “gradientes normais dominam os viscosos; inércia não é desprezível”.

Resposta

c) Os termos viscosos na direção normal à placa são dominantes

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